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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.2 - Ex. 23

Encontre a derivada da função dada:

h (x) = cosec^(- 1) (2 e^(3 x))

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de cosec^(- 1)

(cosec^(- 1) x)^' = - (1)/(|x| sqrt(x^2 - 1))

Temos que ficar atentos aqui, temos 3 funções.

Vamos fazer

h (x) = f (g (w (x)))

Com

f (x) = cosec^(- 1) x

g (x) = 2 e^x

w (x) = 3 x

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

h^' (x) = h^' (g (w (x))) (g (w (x)))^'

h^' (x) = h^' (g (w (x))) g^' (w (x)) w^' (x)

Temos

f^' (x) = - (1)/(|x| sqrt(x^2 - 1))

Que é a derivada de tgh^(- 1)

Então

h^' (x) = - (1)/(|g (w (x))| sqrt((g (w (x)))^2 - 1)) g^' (w (x)) w^' (x)

Passo 2

Vamos achar a derivada de g (x)

g (x) = 2 e^x -> g^' (x) = 2 e^x

Vamos ter

h^' (x) = - (1)/(|2 e^(w (x))| sqrt((2 e^(w (x)))^2 - 1)) 2 e^(w (x)) w^' (x)

Passo 3

Vamos agora para w (x)

w (x) = 3 x -> w^' (x) = 3

Vamos ficar com:

h^' (x) = - (1)/(|2 e^(3 x)| sqrt((2 e^(3 x))^2 - 1)) 2 e^(3 x) 3

h^' (x) = - (6 e^(3 x))/(|2 e^(3 x)| sqrt(4 e^(6 x) - 1))

Como 2 e^(3 x) é sempre positivo, vamos ter:

h^' (x) = - (6 e^(3 x))/(2 e^(3 x) sqrt(4 e^(6 x) - 1))

Resposta

h^' (x) = - (6 e^(3 x))/(2 e^(3 x) sqrt(4 e^(6 x) - 1))

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