Ache a solução completa da equação diferencial (9) d y d x = s e c 2 x t g ² y ² .

A solução completa da equação diferencial é: t g y - y = t g x + K

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.3 - Ex. 9

Ache a solução completa da equação diferencial (9) .

Passo 1

Uma equação contendo derivadas é chamada de equação diferencial. O tipo mais simples de equação diferencial é a equação de primeira ordem da forma , assim como a equação do nosso exercício! Escrevendo essaequação com diferenciais, temos

Podemos ver que o primeiro membro envolve somente a variável y, enquanto que o segundo membro, somente a variável x. Assim, as variáveis estão separadas e dizemos que elas são equações diferenciais com variáveis separáveis. Como resolver esse tipo de equação? Aplicamos a integração dos dois lados da igualdade!

Passo 2

Para resolvermos essas integrais, precisamos antes fazer uma transformação trigonométrica do lado esquerdo da igualdade. Sabemos lá da trigonometria que existe a seguinte relação . Logo, vamos substituir na integral esses valores.

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:

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Nos problemas 1-4, classifique a equação dada quanto ao tipo e à ordem. Classifique as equações diferenciais ordinárias quanto à linearidade. x 2 d ² y d x ² - 3 x d y d x + y = x ² ² ² ²

Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y " + y = s i n ⁡x ? y = sin ⁡ x y = cos ⁡ x y = 1 2 x sin ⁡ x y = - 1 2 x cos ⁡ x

Encontre d y d x e d 2 y d x 2 . Para quais valores de t a curva é côncava para cima? x = t - e t y = t + e - t

Encontre d y d x e d 2 y d x 2 . Para quais valores de t a curva é côncava para cima? x = 4 + t 2 y = t 2 + t 3

Encontre d y d x e d 2 y d x 2 . Para quais valores de t a curva é côncava para cima? x = t 3 - 12 t y = t 2 - 1