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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 48

Se f (x) = (x + 2)/(x - 3) , ache a média dos valores de f no intervalo [4,6] .

Passo 1

Lembremos a fórmula do valor médio:

V m = (int_a^b f (x) d x)/(b - a)

Passo 2

Para podermos aplicar a fórmula, antes devemos calcular a integral!

A ideia aqui é reescrever f de forma que fique mais fácil calcular a integral, saca só:

int (x + 2)/(x - 3) d x = int (x - 3 + 3 + 2)/(x - 3) d x

int (x + 2)/(x - 3) d x = int ((x - 3)/(x - 3) + (5)/(x - 3)) d x

Abrindo em duas integrais ficaremos com:

int (x + 2)/(x - 3) d x = int d x + 5 int (1)/(x - 3) d x

Assim chegamos em:

int (x + 2)/(x - 3) d x = x + 5 ln |x - 3| + C

Passo 3

Por fim, usaremos a fórmula do valor médio:

V m = (int_4^6 (x + 2)/(x - 3) d x)/(5 - 1)

V m = (6 + 5 ln |6 - 3| - (4 + 5 ln |4 - 3|))/(2)

Como ln 1 = 0 , teremos:

V m = (2 - 5 ln 3)/(2)

Resposta

V m = (2 - 5 ln 3)/(2)

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