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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.8 - Ex. 07

Ache a solução completa para a equação diferencial:

d y d x + y = 1 1 + e x

Passo 1

Podemos verificar que a equação diferencial é de primeira ordem em y , pois está na forma

d y d x + P x y = Q ( x )

com P x = 1 e Q x = 1 1 + e x . O fator de integração pelo qual devemos multiplicar a equação é então e ∫ P x d x .

Passo 2

Calculamos o fator de integração:

∫ P x d x = ∫ 1 d x = x + k

O fator de integração é então:

e ∫ P x d x = e x

Multiplicando a equação diferencial por e - x :

e x   d y d x + y e x = e x 1 + e x

Passo 3

Como d e x d x = e x , temos:

e x d y d x + d ( e x ) d x   y = e x 1 + e x ⇒ d y e x d x = e x 1 + e x

Agora integrando:

∫ d ( y e x ) = ∫ e x 1 + e x d x ⇒ y e x = ∫ d e x 1 + e x ⇒ y e x = ln ⁡ ( 1 + e x ) ⇒ y = ln ⁡ 1 + e x e x

Resposta

y = ln ⁡ 1 + e x e x

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