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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.8 - Ex. 24

Ache a equação da curva que passa pelo ponto (1,2) e para qual a inclinação em qualquer ponto (x,y) sobre ela seja 2 y   + 4 t g   x  

Passo 1

Vamos relembrar alguns conceitos.

A derivada de uma função é a inclinação da curva tangente.

Quando o problema diz que a inclinação em qualquer ponto é 2 y   + 4 t g   x   , isso nos diz que essa é a derivada.

E ele quer então a integral dessa função, passando pelo ponto (1,2)

Passo 2

Temos então :

d y d x =   2 y   + 4 t g   x  

E queremos

y =   ∫ 2 y   + 4 t g   x     d x  

Podemos resolver essa questão com separação de variáveis.

d y d x =   2 y   + 4 t g   x  

d y 2 y + 4 =   d x t g   x  

E agora vamos integrar em ambos os lados

∫ d y 2 y + 4 =   ∫ d x t g   x  

Para ∫ d y 2 y + 4 , podemos fazer substituição. Sendo u = 2y+4 . du = 2dy

∫ d y 2 y + 4 =   ∫ 1 2   . 1 u d u

= 1 2 ln ⁡ u  

=   1 2 ln ⁡ 2 y + 4

Agora so resta integrar em x. A integral de 1/tg x já é tabelada. Temos que é   l n   ( s e n   x )

Mas podemos calcular. Fazendo também por substituição

∫ d x t g   x   =   ∫ c o s x s e n x   d x  

Uma dica boa é sempre olhar por denominador e transformar ele em u, geralmente isso resolve vários problemas de integração

Então

u = senx

du = cosx dx

∫ c o s x s e n x   d x =   ∫ 1 u   d u = ln ⁡ u

= ln ⁡ s e n   x  

Passo 3

Temos agora

  1 2 ln ⁡ 2 y + 4 =   ln ⁡ s e n x

Antes de sumirmos com o ln temos que ordenar a equação

ln ⁡ 2 y + 4 =   2 ln ⁡ s e n x

ln ⁡ 2 y + 4 =   ln ⁡ s e n ² x

Pronto, agora podemos aplicar a exponencial em ambos os lados

2 y + 4 = s e n 2 x  

Por fim acrescentamos uma constante arbitraria por termos feito uma integral indefinida

2 y + 4 = s e n 2 x + C

Passo 4

Nosso problema dispõe de dados de contorno. Queremos que 2 y + 4 = s e n 2 x + C passe por (1,2).

2 y + 4 = s e n 2 x + C

2 ( 2 ) + 4 = s e n 2 1 + C

C = 8 - s e n 2 1

Entao nossa curva é

y = s e n 2 x - 4 + 8 - s e n 2 1 2

y = 1 2 s e n 2 x + 2 - s e n 1 1 2

Resposta

y = 1 2 s e n 2 x + 2 - s e n 1 1 2

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