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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.8 - Ex. 08

Ache a solução completa para a equação diferencial:

x 2 d y d x + 2 x y = e x

Passo 1

Para verificar que a equação diferencial é de primeira ordem em y , devemos coloca-la na forma

d y d x + P x y = Q ( x )

Dividimos então ela por x 2 , supondo x ≠ 0 , e obtemos:

d y d x + 2 x y = e x x 2

Agora a equação diferencial está como queríamos, com P x = 2 x e Q x = e x x 2 . O fator de integração pelo qual devemos multiplicar a equação é então e ∫ P x d x .

Passo 2

Calculamos o fator de integração:

∫ P x d x = ∫ 2 x d x = 2   l n ⁡ | x | + k

O fator de integração é então:

e ∫ P x d x = e 2   l n ⁡ | x | = e ln ⁡ x 2 = x 2 = x 2

Multiplicando a equação diferencial por x 2 :

x 2   d y d x + 2 x 2 x y = e x ⇒ x 2 d y d x + 2 x y = e x

Passo 3

Como d x 2 d x = 2 x , temos:

x 2 d y d x + d ( x 2 ) d x   y = e x ⇒ d x 2 y d x = e x

Agora integrando:

∫ d ( x 2 y   ) = ∫ e x d x ⇒ x 2 y = e x + C ⇒ y = e x + C x 2

Notamos que de fato x = 0 não faz parte do domínio da função y , pois a função vai a infinito para esse valor.

Resposta

y = e x + C x 2

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