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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.8 - Ex. 23

Ache uma equação da curva que passe pelo ponto 1 6 π ,   0 e para qual a inclinação de qualquer ponto ( x , y ) sobre ela seja ( 2 y + 4 ) / tg ⁡ x .

Passo 1

O enunciado nos dá a informação de que a inclinação d y d x da curva é dada pela seguinte equação diferencial:

d y d x = 2 y + 4 tg ⁡ x

Resolvendo então essa equação diferencial, e satisfazendo a condição de que y 1 6 π = 0 , devemos achar a equação da curva procurada.

Passo 2

Para verificar se a equação diferencial é de primeira ordem em y , devemos coloca-la na forma:

d y d x + P x y = Q ( x )

Temos então:

d y d x = 2 y tg ⁡ x + 4 tg ⁡ x ⇒ d y d x - 2 y cotg ⁡ x = 4 cotg ⁡ x

Agora a equação está no formato que queríamos, com P x = - 2 cotg ⁡ x e Q x = 4 cotg ⁡ x . O fator integrante pelo qual devemos multiplicar a equação para facilitar a integração é então e ∫ P x d x .

Passo 3

Calculamos então o fator de integração:

∫ P x d x = ∫ - 2 cotg ⁡ x d x = - 2 ∫ cos ⁡ x d x sen ⁡ x = - 2 ∫ d sen ⁡ x sen ⁡ x = - 2 ln ⁡ sen ⁡ x + k

e - 2 ln ⁡ sen ⁡ x = e ln ⁡ sen ⁡ x - 2 = sen ⁡ x - 2 = 1 sen 2 ⁡ x

Multilicamos então a equação por 1 sen 2 ⁡ x :

1 sen 2 ⁡ x d y d x - 1 sen 2 ⁡ x 2 cos ⁡ x sen ⁡ x   y   = 1 sen 2 ⁡ x 4 cos ⁡ x sen ⁡ x   ⇒ 1 sen 2 ⁡ x d y d x - 2 cos ⁡ x sen 3 ⁡ x   y   = 4 cos ⁡ x sen 3 ⁡ x

Passo 4

Pelas propriedades de derivação, lembramos que u v ' = u ' v + u v ' . Sabemos que 1 sen 2 ⁡ x ' = - 2 sen 3 ⁡ x ⋅ cos ⁡ x = - 2 cos ⁡ x sen 3 ⁡ x   . Então temos:

1 sen 2 ⁡ x ⋅ y ' + 1 sen 2 ⁡ x ' y = 4 cos ⁡ x sen 3 ⁡ x ⇒ 1 sen 2 ⁡ x y ' = d y sen 2 ⁡ x d x = 4 cos ⁡ x sen 3 ⁡ x

Passo 5

Agora podemos integrar os dois lados:

∫ d y sen 2 ⁡ x = ∫ 4 cos ⁡ x sen 3 ⁡ x d x = ∫ 4   d sen ⁡ x sen 3 ⁡ x = 4 ⋅ - 1 2 sen 2 ⁡ x + C = - 2 sen 2 ⁡ x + C

⇒ y sen 2 ⁡ x = - 2 sen 2 ⁡ x + C ⇒ y = - 2 + C sen 2 ⁡ x

Como y 1 6 π = 0 :

0 = - 2 + C ⋅ sen ⁡ π 6 = - 2 + C 2 ⇒ C 2 = 2 ⇒ C = 4

⇒ y = - 2 + 4 sen 2 ⁡ x

Resposta

y = - 2 + 4 sen 2 ⁡ x

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