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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.8 - Ex. 11

Ache a solução completa para a equação diferencial:

d y d x + 2 y cotg ⁡ x = cos ⁡ x  

Passo 1

Podemos notar que a equação diferencial é de primeira ordem em y , pois está na forma:

d y d x + P x y = Q ( x )

com P x = 2 cotg ⁡ x e Q x = cos ⁡ x . O fator de integração pelo qual devemos multiplicar a equação é então e ∫ P x d x .

Passo 2

Calculamos o fator de integração:

∫ P x d x = ∫ 2 cotg ⁡ x d x = 2 ∫ cos ⁡ x sen ⁡ x d x = 2 ∫ d sen ⁡ x sen ⁡ x = 2 ln ⁡ | sen ⁡ x | + k

O fator de integração é então:

e ∫ P x d x = e 2   l n ⁡ | sen ⁡ x | = e ln ⁡ sen ⁡ x 2 = sen ⁡ x 2 = sen 2 ⁡ x

Multiplicando a equação diferencial por sen 2 ⁡ x :

sen 2 ⁡ x   d y d x + sen 2 ⁡ x   2 cos ⁡ x sen ⁡ x y = sen 2 ⁡ x cos ⁡ x ⇒ sen 2 ⁡ x   d y d x + 2 y sen ⁡ x cos ⁡ x = sen 2 ⁡ x cos ⁡ x

Passo 3

Como d sen 2 ⁡ x d x = 2 sen ⁡ x cos ⁡ x , temos:

sen 2 ⁡ x   d y d x + d sen 2 ⁡ x d x y = sen 2 ⁡ x cos ⁡ x ⇒ d y sen 2 ⁡ x d x = sen 2 ⁡ x cos ⁡ x

Agora integrando:

∫ d y sen 2 ⁡ x = ∫ sen 2 ⁡ x cos ⁡ x d x

⇒ y sen 2 ⁡ x = ∫ sen 2 ⁡ x   d ( sen 2 ⁡ x ) = sen 3 ⁡ x 3 + C ⇒ y = sen ⁡ x 3 + C sen 2 ⁡ x = sen ⁡ x 3 + C csc 2 ⁡ x

Resposta

y = sen ⁡ x 3 + C csc 2 ⁡ x

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Aplicar os operadores lineares à função 𝑐osw t .
Provar que toda função da forma k e a t , onde k pertence aos reais, está no núcleo do operador D- a .
Aplicar os operadores lineares à função 𝑐osw t .
Demonstrar que se uma função f ( t ) está no núcleo de D-a , então f ( t ) é dada por f ( t )=k e a t , onde k é um número real.Sugestão: Considere a função f t e - a t e mostre que ela é constante.