Ache a solução completa da equação diferencial dada, determinada pelas condições iniciais (15) dy/dx = (x + 1) / (x + 2); y = -3/2 quand x = -3 .

Passo 1

Uma equação contendo derivadas é chamada de equação diferencial. O tipo mais simples de equação diferencial é a equação de primeira ordem da forma d y d x = f x , assim como a equação do nosso exercício! Escrevendo essaequação com diferenciais, temos

d y = f x d x

Podemos ver que o primeiro membro envolve somente a variável y, enquanto que o segundo membro, somente a variável x. Assim, as variáveis estão separadas e dizemos que elas são equações diferenciais com variáveis separáveis. Como resolver esse tipo de equação? Aplicamos a integração dos dois lados da igualdade!

d y d x = x + 1 x + 2 d y = x 2 + 3 x + 2 d x ∫ d y = ∫ ( x 2 + 3 x + 2 ) d x

Passo 2

Resolvendo a integral teremos:

∫ d y = ∫ ( x 2 + 3 x + 2 ) d x y x = x 3 3 + 3 x 2 2 + 2 x + K y x = x 3 3 + 3 2 x 2 + 2 x + K

Passo 3

Aplicando as condições inicias na equação encontrada temos:

y - 3 = - 3 / 2 y - 3 = ( - 3 ) 3 3 + 3 2 - 3 2 + 2 * - 3 + K = - 3 / 2 - 9 + 27 2 - 6 + K = - 3 / 2 K = - 3 2 + 15 - 27 2 K = 0

Portanto,

y x = x 3 3 + 3 2 x 2 + 2 x

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:

y x = x 3 3 + 3 2 x 2 + 2 x

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