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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.3 - Ex. 8

Ache a solução completa da equação diferencial (8) d y d x = x ² ( x 3 - 3 ) y ² .

Passo 1

Uma equação contendo derivadas é chamada de equação diferencial. O tipo mais simples de equação diferencial é a equação de primeira ordem da forma d y d t = f x f ( y ) , assim como a equação do nosso exercício! Escrevendo essaequação com diferenciais, temos

f ( y ) d y = f x d x

Podemos ver que o primeiro membro envolve somente a variável y, enquanto que o segundo membro, somente a variável x. Assim, as variáveis estão separadas e dizemos que elas são equações diferenciais com variáveis separáveis. Como resolver esse tipo de equação? Aplicamos a integração dos dois lados da igualdade!

d y d x = x ² ( x 3 - 3 ) y ² y 2 d y = x ² ( x 3 - 3 ) d x ∫ y 2 d y = ∫ x ² ( x 3 - 3 ) d x

Passo 2

Vamos separar essa solução das integrais em duas. Apelidaremos a integral do lado esquerdo da igualdade de A e do lado direito B. Para resolvermos a integral B, vamos fazer uma substituição de variáveis. Seja a = x 3 - 3 . Aplicando a diferenciação dos dois lados da igualdade temos:

d a = 3 x ² d u d a 3 = x ² d x

Substituindo na integral B a variável temos:

B = ∫ a d a 3 = ∫ a 1 2 d a 3

Passo 3

Resolvendo a integral B:

B = ∫ a 1 2 d a 3 B = 1 3 ∫ a 1 2 d a B = 1 3 a 3 2 3 2 + K B = 2 9 x 3 - 3 3 2 + K

Passo 4

Resolvendo a integral A:

A = ∫ y ² d y A = y 3 3 + K

Passo 5

Juntando as duas respostas temos:

y 3 3 + K 1 = 2 9 x 3 - 3 3 2 + K 2 y 3 3 = 2 9 x 3 - 3 3 2 + K y 3 = 2 3 x 3 - 3 3 2 + 3 K y = 2 3 x 3 - 3 3 2 + 3 K 1 / 3

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:

y = 2 3 x 3 - 3 3 2 + 3 K 1 / 3

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