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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.1 - Ex. 7

  1. O que você pode dizer da solução da equação y ' = - y 2 apenas olhando a equação diferencial?
  2. Verifique que todos os membros da família y = 1 x + C são soluções da equação na parte (a).
  3. Você pode pensar em uma solução da equação diferencial y ' = y 2 que não seja membro da família na parte (b)?
  4. Encontre uma solução para o problema de valor inicial y ' = - y 2                     y 0 = 0,5

Passo 1

  1. Precisamos analisar a equação y ' = - y 2 e tirar alguma conclusão sobre a sua solução sem fazer nenhuma conta. Bom, sabemos que y 2 é sempre um número positivo ou igual a 0 ( y 2 ≥ 0 ), então a equação y ' = - y 2 é sempre negativa ou constante, ou seja, a função é decrescente ou constante. Além disso, quanto maior o módulo de y mais a função decresce.

    2. Passo 2

  2. Queremos verificar que todas as equações da forma   y = 1 x + C são soluções de   y ' = - y 2 .

    3. Derivando y , temos : y = 1 x + C

    y ' = - 1 ( x + C ) 2

    y 2 = 1 ( x + C ) 2

    y ' = - y 2

    Dessa forma, podemos concluir que que todas as equações da forma   y = 1 x + C são soluções de   y ' = - y 2 .

    Passo 3

  3. Precisamos pensar se existe alguma solução para   y ' = - y 2 que não pertença a família de equações do tipo y = 1 x + C . Vimos no item (a) que a solução é sempre decrescente ou constante, sendo que ela decresce proporcionalmente ao módulo de y . Ao analisarmos as possíveis soluções nos resta ver o caso em que elas são constantes. Então concluímos que y = 0 é uma solução, pois é a única constante que satisfaz que y ' = y 2

    4. Passo 4

  4. Queremos encontrar uma solução para y ' = - y 2 sendo que y 0 = 0,5

Sabemos do item (b) que toda equação da forma   y = 1 x + C é solução da EDO, resta-nos apenas descobrir o valor da constante C, então:

y 0 = 1 C = 0,5

C = 2

Logo, a equação que satisfaz as condições dadas é   y = 1 x + 2

Resposta

(c) y = 0

(d)   y = 1 x + 2

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