- O que você pode dizer da solução da equação apenas olhando a equação diferencial?
- Verifique que todos os membros da família são soluções da equação na parte (a).
- Você pode pensar em uma solução da equação diferencial que não seja membro da família na parte (b)?
- Encontre uma solução para o problema de valor inicial
Passo 1
- Precisamos analisar a equação e tirar alguma conclusão sobre a sua solução sem fazer nenhuma conta. Bom, sabemos que é sempre um número positivo ou igual a (), então a equação é sempre negativa ou constante, ou seja, a função é decrescente ou constante. Além disso, quanto maior o módulo de mais a função decresce.
- Queremos verificar que todas as equações da forma são soluções de .
- Precisamos pensar se existe alguma solução para que não pertença a família de equações do tipo . Vimos no item (a) que a solução é sempre decrescente ou constante, sendo que ela decresce proporcionalmente ao módulo de . Ao analisarmos as possíveis soluções nos resta ver o caso em que elas são constantes. Então concluímos que é uma solução, pois é a única constante que satisfaz que
- Queremos encontrar uma solução para sendo que
Passo 2
Derivando , temos :
Dessa forma, podemos concluir que que todas as equações da forma são soluções de .
Passo 3
Passo 4
Sabemos do item (b) que toda equação da forma é solução da EDO, resta-nos apenas descobrir o valor da constante C, então:
Logo, a equação que satisfaz as condições dadas é
Resposta
(c)
(d)