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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.8 - Ex. 20

Ache uma solução da equação diferencial que satisfaça a condição dada.

d y d x + y tg ⁡ x = sec ⁡ x ;

y = 1 quando x = 0 .

Passo 1

Sabemos que essa equação diferencial é de primeira ordem em y , pois está na forma:

d y d x + P x y = Q ( x )

Com P x = tg ⁡ x e Q x = sec ⁡ x . O fator integrante pelo qual devemos multiplicar a equação para facilitar a integração é então e ∫ P x d x .

Passo 2

Calculamos então o fator de integração:

∫ P x d x = ∫ tg ⁡ x d x = ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x d x = - ∫ - sen ⁡ x d x cos ⁡ x = - ∫ d cos ⁡ x cos ⁡ x = - ln ⁡ ( cos ⁡ x ) + k

e - ln ⁡ ( cos ⁡ x ) = e ln ⁡ cos ⁡ x - 1 = cos ⁡ x - 1 = 1 cos ⁡ x

Multilicamos então a equação por 1 cos ⁡ x :

1 cos ⁡ x d y d x + 1 cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x y   = 1 cos ⁡ x sec ⁡ x ⇒ 1 cos ⁡ x d y d x + sen ⁡ x cos 2 ⁡ x   y = sec 2 ⁡ x

Passo 3

Pelas propriedades de derivação, lembramos que u v ' = u ' v + u v ' . Sabemos que 1 cos ⁡ x ' = - 1 cos 2 ⁡ x ⋅ - sen ⁡ x = sen ⁡ x cos 2 ⁡ x . Então temos:

1 cos ⁡ x ⋅ y ' + 1 cos ⁡ x ' y = sec 2 ⁡ x ⇒ 1 cos ⁡ x y ' = d y cos ⁡ x d x = sec 2 ⁡ x

Passo 4

Agora podemos integrar os dois lados:

∫ d y cos ⁡ x = ∫ sec 2 ⁡ x d x ⇒ y cos ⁡ x = tg ⁡ x + C ⇒ y = sen ⁡ x + C cos ⁡ x

Pelo enunciado. y 0 = 1 :

1 = sen ⁡ 0 + C cos ⁡ 0 = C ⇒ C = 1 ⇒ y = sen ⁡ x + cos ⁡ x

Resposta

y = sen ⁡ x + cos ⁡ x

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