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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 43

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

43 . ∫ e x 4 - 9 e 2 x d x

Passo 1

Vamos lá, primeiro para começar a resolver a integral vamos aplicar uma substituição da seguinte maneira:

u = e x

d u = e x d x

Logo nossa integral toma a seguinte forma:

∫ e x 4 - 9 e 2 x d x = ∫ 1 4 - 9 u 2 d u

Passo 2

Agora fazendo uma substituição trigonométrica da forma:

u = 2 3 s e n   s

d u = 2 3 cos ⁡ s   d s

Nossa integral fica:

∫ 1 4 - 9 u 2 d u = ∫ 2 3 ⋅ cos ⁡ s 4 - 9 2 3 s e n   s 2 d s

= 2 3 ∫ cos ⁡ s 4 - 9 ⋅ 4 9 s e n 2 s d s

= 2 3 ∫ cos ⁡ s 4 - 4 s e n 2 s d s

= 2 3 ∫ cos ⁡ s 4 1 - s e n 2 s   d s

= 2 3 ∫ cos ⁡ s 2 1 - s e n 2 s d s

Passo 3

Para continuar precisamos lembrar de uma identidade trigonométrica bem famosa:

cos 2 ⁡ x + s e n 2 x = 1 ⇒ cos 2 x ⁡ = 1 - s e n 2 x

Agora continuando:

2 3 ∫ cos ⁡ s 2 1 - s e n 2 s d s = 2 3 ∫ cos ⁡ s 2 c o s 2 s d s

= 2 3 ∫ cos ⁡ s 2 cos ⁡ s d s

= 2 3 ⋅ 1 2 ∫ d s

= 1 3 ∫ d s = 1 3 s

Passo 4

Agora para encontrarmos a resposta final, basta reverter as substituições feitas.

u = 2 3 s e n   s ⇒ s = a r c s e n 3 u 2

1 3 s = 1 3 a r c s e n 3 u 2

u = e x

1 3 a r c s e n 3 u 2 = 1 3 a r c s e n 3 e x 2

Resposta

∫ e x 4 - 9 e 2 x d x = 1 3 a r c s e n 3 e x 2

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