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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 18

Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.

16. x y ' + y = y 2                 y 1 = - 1

Passo 1

Queremos resolver a equação x y ' + y = y 2 , se conseguirmos deixar de um lado termos com somente x e do outro termos com somente y podemos dizer que esta é uma EDO separável, então podemos integrá-la de ambos os lados para encontrar y , dessa forma:

x y ' + y = y 2

x d y d x = y 2 - y

x d y d x = y 2 - y

d y = y 2 - y d x x

d y y 2 - y = d x x

Passo 2

Agora podemos integrar do lado esquerdo em função de y e do lado direito em função de x , assim:

∫ d y y 2 - y = ∫ d x x  

∫ d y y ( y - 1 ) = ln ⁡ x + C

Nunca esqueça de que em uma integral indefinida sempre temos uma constante C .

Passo 3

Para resolver a integral do lado direito vamos precisar relembrar do método das frações parciais.

1 y y - 1 = A y + B y - 1 = A y - 1 + B y y y - 1

Para encontrar os valores de A e B , precisamos olhar os coeficientes da expressão:

Olhando os coeficientes de y temos A y + B y = 0 , então A =   - B

Olhando agora os termos independentes temos - A = 1 , então A = - 1 .

Como sabemos que A =   - B , concluímos que B = 1 .

Assim, podemos voltar para a integral:

∫ d y y ( y - 1 ) = ∫ - 1 y + 1 y - 1   d y = ln ⁡ x + C

- ln ⁡ y + ln ⁡ y - 1 = ln ⁡ x + C

ln ⁡ y - 1 y = ln ⁡ x + l n e C

Vamos chamar e C = k , então:

ln ⁡ y - 1 y = ln ⁡ k x

y - 1 y = k | x |

Passo 4

Agora precisamos aplicar o problema de valor inicial para chegar a nossa resposta final.

y 1 = - 1

Isso quer dizer que quando temos x = 1 , nosso y = - 1 . Vamos substituir esses números na equação que encontramos:

- 1 - 1 - 1 = k | 1 |

2 = k

k = 2

Então ficamos com y - 1 y = 2 | x |

y - 1 y = 2 x

y - 1 = 2 x y

y - 2 x y = 1

y ( 1 - 2 x ) = 1

y = 1 1 - 2 x

Resposta

16. y = 1 1 - 2 x

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