Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 34
O método esboçado no Problema 30 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja,
a substituição y = xυ(x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta
última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de υ por y/x
fornece a solução da equação original. Em cada um dos problemas de 31 a 38:
(a) Mostre que a equação dada é homogênea.
(b) Resolva a equação diferencial.
(c) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação
à origem?
Passo 1
- e (b) Antes de determinar o comportamento da solução, precisamos encontrar qual é a solução final da EDO acima, é visto que ela é do tipo que pode separar para calcular a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem. Vamos fazera substituiçãode .
Assim, temos:
Passo 2
- e (b) Quando olhamos a equação, percebemos que agora ela é uma EDO do tipo separável.
Agora para termos uma equação dependendo de y e de v, basta integrar dos dois lados
Integrando dos dois lados, temos:
Só que no ínicio consideramos que
Ou seja, temos que:
Passo 3
C) As retas abaixo foram construídas quando C obteve tais valores:
preta – C =2
vermelha – C = 10
azul – C = 20
roxa - C = 100000
Ou seja, a medida que o valor de C aumenta mais a curva se afasta da origem. As curvas são simétricas em relação a origem.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)