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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.5 - Ex. 8

Ache a soma de Riemann para a função no intervalo, usando a partição Δ das e os valores de ξ i dados. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo dado e mostre os retângulos cujas medidas de área são os termos da soma de Riemann.

f x = 3 c o s x 2 ,     - π ≤ x ≤ π ;

Para Δ :

x 0 = - π ,   x 1 = - π 2 , x 2 = - π 3 ,   x 3 = π 3 , x 4 = 7 π 12 , x 5 = ( π ) ;

ξ 1 = - 2 π 3 , ξ 2 = - π 3 , ξ 3 = 0 , ξ 4 = π 2 , ξ 5 = 2 π 3

Passo 1

Devemos então montar a soma de Riemann com esses valores e esboçar um gráfico disso.

Lembrando que Δ x é a largura de cada retângulo e f ( ξ ) seria a altura de cada um deles, sendo

Δ i x = x i - x i - 1

A figura mostra um esboço do gráfico de f(x) em - π , π e os cinco retângulos cujas áreas são os termos da soma de Riemann.

Passo 2

Agora devemos montar a soma de Riemann

∑ i = 1 5 f ξ i Δ i x = f ξ 1 Δ 1 x + f ξ 2 Δ 2 x + f ξ 3 Δ 3 x + f ξ 4 Δ 4 x + f ξ 5 Δ 5 x

= f - 2 π 3 - π 2 - - π + f - π 3 ( - π 3 - - π 2 ) + f 0 ( π 3 - - π 3 ) + f π 2 ( 7 π 12 - π 3 ) + f 2 π 3 ( π - 7 π 12 )

= 3 c o s ( - π 3 ) 1,5708 + 3 c o s ( - π 6 ) 0,5236 + 3 c o s ( 0 ) 2,0944 + 3 c o s ( π 4 ) 0,7854 + 3 c o s π 3 ( 1,3090 )

Resposta

Dessa maneira, o valor da soma de Riemann é:

∑ i = 1 5 f ξ i Δ i x = 13,6293

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