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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.7 - Ex. 15

Use a) a regra do trapézio, b) a regra do ponto médio, e c) a regra de Simpson para aproximar a a integral dada com os valores dados de n . (Aproxime sua resposta para seis casas decimais.)

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte integral:

∫ 0 1 x 2 1 + x 4 d x ,     n = 10

Antes de começar o exercício, vamos determinar qual será o tamanho do intervalo em análise:

Δ x = 1 - 0 10 → Δ x = 0,1

Vamos começar o exercício calculando a integral pela regra do trapézio, mas antes, vamos nos lembrar como é essa fórmula:

∫ a b f x d x ≅ T n = Δ x 2 f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + … + 2 f x n - 1 + f x n

Onde nós temos:

Δ x = b - a n ,     x i = a + i Δ x

Então, nesse exercício, aplicando a fórmula do trapézio, temos:

T 10 = 0,1 2 f 0 + 2 f 0 , 1 + 2 f 0 , 2 + 2 f 0 , 3 + 2 f 0 , 4 + 2 f 0 , 5 + 2 f 0 , 6 + 2 f 0 , 7 + 2 f 0 , 8 + 2 f 0 , 9 + f ( 1 )

Então, calculando os termos nos pontos de interesse:

f 0 = 0 ; f 0 , 1 = 0,00999 ; f 0 , 2 = 0,03994 ; f 0 , 3 = 0,0893 ; f 0 , 4 = 0,1560 ;

f 0 , 5 = 0,2353 ; f 0 , 6 = 0,3187 ; f 0 , 7 = 0,3951 ; f 0 , 8 = 0,454 ; f 0 , 9 = 0,489 ;

f 1 = 0,5

Então, substituindo esses valores na equação anterior, o resultado será:

T 10 = 0,243748

Passo 2

Agora, na letra b), vamos utilizar a regra do ponto médio para estimar o valor da integral, para isso, vamos lembrar como é a fórmula do ponto médio:

∫ a b f x d x ≅ M n = Δ x f x - 1 + f x - 2 + … + f x - n

Onde:

Δ x = b - a n ,     x - i = 1 2 x i - 1 + x i

Então, para o nosso caso, a fórmula se torna:

M 10 = 1 10 f 0 , 05 + f 0 , 15 + f 0 , 25 + f 0 , 35 + f 0 , 45 + f 0 , 55 + f 0 , 65 + f 0 , 75 + f 0 , 85 + f ( 0 , 95 )

Então, precisamos calcular o valor da função nesses pontos, realizando os cálculos, temos:

f 0 , 05 = 0,0025 ; f 0 , 15 = 0,0225 ; f 0 , 25 = 0,0622 ; f 0 , 35 = 0,1207 ;

f 0 , 45 = 0,1945 ; f 0 , 55 = 0,2771 ; f 0 , 65 = 0,3585 ; f 0 , 75 = 0,4273 ;

f 0 , 85 = 0,4526 ; f 0 , 95 = 0,4974

Então, substituindo esses valores na equação de cima e fazendo os cálculos, temos:

M 10 = 0,243745

Passo 3

Agora, por último, vamos aproximar a integral pela regra de Simpson. Relembrando rapidinho a fórmula, temos:

∫ a b f x d x ≅ S n = Δ x 3 f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + … + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n

Onde nós temos:

Δ x = b - a n

Então, subsituindo os valores na fórmula, temos:

S 10 = 0,1 3 f 0 + 4 f 0 , 1 + 2 f 0 , 2 + 4 f 0 , 3 + 2 f 0 , 4 + 4 f 0 , 5 + 2 f 0 , 6 + 4 f 0 , 7 + 2 f 0 , 8 + 4 f 0 , 9 + f ( 1 )

Pra nossa sorte, esses são os mesmos valores para a função que calculamos no passo 1, onde temos:

f 0 = 0 ; f 0,1 = 0,00999 ; f 0,2 = 0,03994 ; f 0,3 = 0,0893 ; f 0,4 = 0,1560 ;

f 0,5 = 0,2353 ; f 0,6 = 0,3187 ; f 0,7 = 0,3951 ; f 0,8 = 0,454 ; f 0,9 = 0,489 ;

f 1 = 0,5

Então, substituindo esses valores na fórmula anterior:

S 10 = 0,243750

Resposta

T 10 = 0,243748

M 10 = 0,243745

S 10 = 0,243750

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