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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.1 - Ex. 28

Ache o valor exato da quantidade dada.

(a) cos (arctan (- 3)) ; (b) tan (arcsec (- 3))

Passo 1

A questão pede para calcularmos o valor das expressões. Para o item (a) vamos chamar

y = arctan ( - 3 ) => tan y = - 3

Note então que y está no quarto quadrante, de modo que cos y é positivo. Assim, temos que

(s e n y)/(cos y) = - 3 => s e n y = - 3 cos y

Substituindo isso na relação fundamental:

cos^2 y + s e n^2 y = 1 => cos^2 y + 9 cos^2 y = 1 => cos y = +- (1)/(sqrt(10))

Mas como vimos, cos y > 0 , de modo que

cos y = cos (arctan (- 3)) = (1)/(sqrt(10))

Passo 2

Para o item (b), fazemos

y = arcsec ( - 3 ) => sec y = - 3

Assim, vemos que y está no terceiro quadrante devido à imagem da função arco secante. Assim, a tan y > 0 . Lembrando que

1 + tan^2 y = sec^2 y

Temos que

1 + tan^2 y = 9

Logo,

tan y = +- 2 sqrt(2)

Como tan y > 0 , temos que

tan y = tan (arcsec (- 3)) = 2 sqrt(2)

Resposta

a) (1)/(sqrt(10)) b) 2 sqrt(2)

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