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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 4a

Ache o valor exato da quantidade dada:

tg [2 sen^(- 1) (- (24)/(25))]

Passo 1

Eita que zona é essa expressão. Vamos começar fazendo

x = sen^(- 1) (- (24)/(25))

Aquele - 1 é de função inversa. Então a outra forma de ver essas duas igualdades é:

sen x = - (12)/(13)

Agora, vamos ter

tg [2 sen^(- 1) (- (24)/(25))] = tg 2 x

Lembrando da fórmula do arco duplo

tg 2 x = (2 tg x)/(1 - tg^2 x)

Temos que achar essa tg x

Passo 2

Como

sen x = - (24)/(25)

Usando o relação fundamental da trigonometria

sen^2 x + cos^2 x = 1

Coneseguimos achar o valor do cosseno:

(- (24)/(25))^2 + cos^2 x = 1

cos^2 x + (576)/(625) = 1

cos^2 x = 1 - (576)/(625)

cos^2 x = (625 - 576)/(625)

cos^2 x = (49)/(625)

cos x = +- (7)/(25)

Logo temos

cos x = (7)/(25) , o u , cos x = - (7)/(25)

Passo 3

Lembrando que

tg x = (sen x)/(cos x)

Teremos

tg x = (- (24)/(25))/((7)/(25)) , o u , cos x = (- (24)/(25))/(- (7)/(25))

tg x = - (24)/(7) , o u , cos x = (24)/(7)

Passo 4

Dessa forma, a tangente de 2 x , que é o que temos que calcular, vai ficar:

tg 2 x = (2 tg x)/(1 - tg^2 x)

tg 2 x = (2 (- (24)/(7)))/(1 - (- (24)/(7))^2) , o u , tg 2 x = (2 ((24)/(7)))/(1 - ((24)/(7))^2)

tg 2 x = (- (48)/(7))/(1 - (576)/(49)) , o u , tg 2 x = ((48)/(7))/(1 - (576)/(49))

tg 2 x = (- (48)/(7))/((49 - 576)/(49)) , o u , tg 2 x = ((48)/(7))/((49 - 576)/(49))

tg 2 x = (- (48)/(7))/(- (527)/(49)) , o u , tg 2 x = ((48)/(7))/(- (5 27)/(49))

tg 2 x = (48)/(7) (49)/(527) = (336)/(527) , o u , tg 2 x = - (48)/(7) (49)/(527) = - (336)/(527)

Resposta

- (336)/(527) , o u , (336)/(527)

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