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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 3a

Ache o valor exato da quantidade dada:

sen [2 cos^(- 1) (- (12)/(13))]

Passo 1

Eita que zona é essa expressão. Vamos começar fazendo

x = cos^(- 1) (- (12)/(13))

Aquele - 1 é de função inversa. Então a outra forma de ver essas duas igualdades é:

cos x = - (12)/(13)

Agora, vamos ter

sen [2 cos^(- 1) (- (12)/(13))] = sen 2 x

Lembrando da fórmula do arco duplo

sen 2 x = 2 sen x cos x

Já sabemos o cosseno, falta achar o seno.

Passo 2

Como

cos x = - (12)/(13)

Usando o relação fundamental da trigonometria

sen^2 x + cos^2 x = 1

Coneseguimos achar o valor do cosseno:

sen^2 x + (- (12)/(13))^2 = 1

sen^2 x + (144)/(169) = 1

sen^2 x = 1 - (144)/(169)

sen^2 x = (169 - 144)/(169)

sen^2 x = (25)/(169)

sen x = +- (5)/(13)

Logo temos

sen x = (5)/(13) , o u , sen x = - (5)/(13)

Passo 3

Dessa forma, o seno de 2 x , que é o que temos que calcular, vai ficar:

sen 2 x = 2 sen x cos x

sen 2 x = 2 ((5)/(13)) (- (12)/(13)) , o u , sen 2 x = 2 (- (5)/(13)) (- (12)/(13))

sen 2 x = - (120)/(169) , o u , sen 2 x = (120)/(169)

Resposta

- (120)/(169) , o u , (120)/(169)

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