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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 3b

Ache o valor exato da quantidade dada:

tg [cos^(- 1) (3)/(5) + sen^(- 1) (- (7)/(25))]

Passo 1

Eita que zona é essa expressão. Vamos começar fazendo

x = cos^(- 1) (3)/(5)

E

y = sen^(- 1) (- (7)/(25))

Aquele - 1 é de função inversa. Então a outra forma de ver essas duas igualdades é:

cos x = (3)/(5)

sen y = - (7)/(13)

Agora, vamos ter

tg [cos^(- 1) (3)/(5) + sen^(- 1) (- (7)/(25))] = tg [x + y]

Lembrando da fórmula do tangente da soma

tg (x + y) = (tg x + tg y)/(1 - tg x tg y)

Temos que achar essas duas tangentes.

Passo 2

Como

cos x = (3)/(5)

Usando o relação fundamental da trigonometria

sen^2 x + cos^2 x = 1

Coneseguimos achar o valor do cosseno:

sen^2 x + ((3)/(5))^2 = 1

sen^2 x + (9)/(25) = 1

sen^2 x = 1 - (9)/(25)

sen^2 x = (25 - 9)/(25)

sen^2 x = (16)/(25)

sen x = +- (4)/(5)

Logo temos

sen x = (4)/(5) , o u , sen x = - (4)/(5)

Passo 3

Lembrando que

tg x = (sen x)/(cos x)

Vamos ter

tg x = ((4)/(5))/((3)/(5)) , o u , tg x = (- (4)/(5))/((3)/(5))

tg x = (4)/(3) , o u , tg x = - (4)/(3)

Passo 4

Como

sen y = - (7)/(25)

Usando o relação fundamental da trigonometria

(- (7)/(25))^2 + cos^2 y = 1

Coneseguimos achar o valor do cosseno:

(49)/(625) + cos^2 y = 1

cos^2 y = 1 - (49)/(625)

cos^2 y = (625 - 49)/(625)

cos^2 y = (576)/(625)

cos y = +- (24)/(25)

Logo temos

cos y = (24)/(25) , o u , cos y = - (24)/(25)

Passo 5

Lembrando que

tg y = (sen y)/(cos y)

Vamos ter

tg y = (- (7)/(25))/((24)/(25)) , o u , tg x = (- (7)/(25))/(- (24)/(25))

tg y = - (7)/(24) , o u , tg y = (7)/(24)

Passo 6

Agora que temos as duas tangentes,

tg x = (4)/(3) , o u , tg x = - (4)/(3)

tg y = - (7)/(24) , o u , tg y = (7)/(24)

Temos que achar tg (x + y)

tg (x + y) = (tg x + tg y)/(1 - tg x tg y)

As possibilidades em pares das tg x e tg y são:

tg x = (4)/(3) , e , tg y = - (7)/(24)

tg x = - (4)/(3) , e , tg y = - (7)/(24)

tg x = (4)/(3) , e , tg y = (7)/(24)

tg x = - (4)/(3) , e , tg y = (7)/(24)

Passo 7

Se

tg x = (4)/(3) , e , tg y = - (7)/(24)

tg (x + y) = (((4)/(3)) + (- (7)/(24)))/(1 - ((4)/(3)) (- (7)/(24))) = ((32 - 7)/(24))/(1 + (7)/(18)) = ((25)/(24))/((25)/(18)) = (18)/(24) = (3)/(4)

Passo 8

Se

tg x = - (4)/(3) , e , tg y = - (7)/(24)

tg (x + y) = ((- (4)/(3)) + (- (7)/(24)))/(1 - (- (4)/(3)) (- (7)/(24))) = ((- 32 - 7)/(24))/(1 - (7)/(18)) = (- (39)/(24))/((11)/(18)) = - (39)/(24) (18)/(11) = - (117)/(44)

Passo 9

Se

tg x = (4)/(3) , e , tg y = (7)/(24)

tg (x + y) = (((4)/(3)) + ((7)/(24)))/(1 - ((4)/(3)) ((7)/(24))) = ((32 + 7)/(24))/(1 - (7)/(18)) = ((39)/(24))/((11)/(18)) = (39)/(24) (18)/(11) = (117)/(44)

Passo 10

Se

tg x = - (4)/(3) , e , tg y = (7)/(24)

tg (x + y) = ((- (4)/(3)) + ((7)/(24)))/(1 - (- (4)/(3)) ((7)/(24))) = ((- 32 + 7)/(24))/(1 + (7)/(18)) = (- (25)/(24))/((25)/(18)) = - (18)/(24) = - (3)/(4)

Resposta

(3)/(4)

- (3)/(4)

(117)/(44)

- (117)/(44)

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