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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 2

Dado x = cos - 1 ⁡ 7 25 e y = tg - 1 ⁡ - 7 24 , ache o valor exato de cada uma das seguintes funções: a sen ⁡ x ; b sen ⁡ y ; c cos ⁡ x ; d tg ⁡ x

Passo 1

Vamos começar entendendo as duas informações que ele deu:

x = cos - 1 ⁡ 7 25

y = tg - 1 ⁡ - 7 24

Aquele - 1 é de função inversa. Então a outra forma de ver essas duas igualdades é:

cos ⁡ x = 7 25

tg ⁡ y = - 7 24

Agora temos o valor de cosseno de x e tangente de y . Vamos ver como chegamos no que eles pedem

Passo 2

Letra a

Como

cos ⁡ x = 7 25

Usando o relação fundamental da trigonometria

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Coneseguimos achar o valor do cosseno:

sen 2 ⁡ x + 7 25 2 = 1

sen 2 ⁡ x + 49 625 = 1

sen 2 ⁡ x = 1 - 49 625

sen 2 ⁡ x = 625 - 49 6 25

sen 2 ⁡ x = 576 6 25

sen ⁡ x = ± 2 4 2 5

Logo temos

sen ⁡ x = 2 4 2 5 ,     o u ,     sen ⁡ x = - 2 4 2 5

Passo 3

Vamos fazer a Letra c antes da b

Aqui ele deu a tangente de y , e pede o cosseno. Para isso vamos usar a outra relação fundamental da trigonometria:

tg 2 ⁡ y + 1 = sec 2 ⁡ y

Isso porque :

sec ⁡ y = 1 cos ⁡ y

Substituindo o valor da tangente

- 7 24 2 + 1 = sec 2 ⁡ y

49 576 + 1 = sec 2 ⁡ y

sec 2 ⁡ y = 576 + 49 576

sec 2 ⁡ y = 625 576

Trocando a secante por cosseno:

1 cos 2 ⁡ y = 625 576

cos 2 ⁡ y = 576 625

cos ⁡ y = ± 24 25

Logo temos:

cos ⁡ y = 24 25 ,     o u ,     cos ⁡ y = - 24 25

Passo 4

Letra b

Como

cos ⁡ y = 24 25 ,     o u ,     cos ⁡ y = - 24 25

Usando o relação fundamental da trigonometria

sen 2 ⁡ y + cos 2 ⁡ y = 1

Coneseguimos achar o valor do cosseno:

sen 2 ⁡ y + ± 24 25 2 = 1

sen 2 ⁡ y + 576 625 = 1

sen 2 ⁡ y = 1 - 576 625

sen 2 ⁡ y = 625 - 576 625

sen 2 ⁡ y = 49 625

sen ⁡ y = ± 7 25

Logo temos

sen ⁡ y = 7 25 ,     o u ,     sen ⁡ y = - 7 25

Passo 5

Letra d

Lembrando que:

tg ⁡ x = sen ⁡ x cos ⁡ x

Vamos encontrar, a partir dos valores que achamos nas letras anteriores.

tg ⁡ x = - 24 25 7 25 ,     o u ,     tg ⁡ x = 24 25 7 25

tg ⁡ x = - 24 7 ,     o u ,     tg ⁡ x = 24 7

Resposta

Letra a

sen ⁡ x = 24 25 ,     o u ,     sen ⁡ x = - 24 25

Letra b

sen ⁡ y = 7 25 ,     o u ,     sen ⁡ y = - 7 25

Letra c

cos ⁡ y = 24 25 ,     o u ,     cos ⁡ y = - 24 25

Letra d

tg ⁡ x = - 24 7 ,     o u ,     tg ⁡ x = 24 7

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