Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos Exemplos 3 e 4 desta secção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

Antes de tudo, vamos relembrar o gráfico da :

Lembre-se da relação:

Então os pontos que . E também: . Esse é o jeito mais tranquilo de encontrar o gráfico da .

Vamos agora para a derivada da função:

Aplicando a regra da cadeia e lembrando que

Daí temos a derivada da nossa função:

Agora precisamos dos pontos onde a derivada da função não existe ou é igual a . Lembre-se que:

E

Nenhuma das duas funções se igual a em momento algum, maaaas temos pontos onde elas não existem e vamos nos aproveitar deles. Não vamos nos preocupar muito com os pontos onde a não está definida, pois esses pontos também não estarão definidos na nossa função. Vamos à .

Precisamos que:

Então:

Para qualquer inteiro.

Mas no nosso caso temos:

Ou seja, a precisa que:

Logo:

Então precisamos satisfazer a equação acima e o intervalo determinado pela questão também: Podemos ver que o único valor de que satisfaz ambas as condições é Mas não pode ser , porque a não está definida na origem!

E agora? O teorema está errado? Toda a matemática está errada? Calma lá, jovem. Vamos reescrever o teorema aqui:

Se a função for contínua no intervalo fechado , então terá um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto em .

Agora repare novamente lá em cima no gráfico da cossecante. Encontrou o problema? A cossecante não é contínua! E nosso teorema não garante que tenhamos máximos e mínimos absolutos em intervalos onde a função é descontínua! E como vimos a partir da nossa analise no passo 4, a função não satisfaz nenhuma das condições que impusemos simultaneamente, então podemos afirmar que a função não possui máximo nem mínimo absoluto no intervalo dado. O gráfico dela fica assim: