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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.7 - Ex. 7

Ache o valor de χ que satisfaz o teorema do valor médio para integrais para a integral a seguir. Faça uma figura ilustrando a aplicação do teorema.

∫ - 2 2 ( x 3 + 1 ) = 4

Passo 1

O teorema do valor médio para integrais diz que se temos uma função f contínua num intervalo [ a , b ] , vai existir um número χ dentro do intervalo para o qual:

∫ a b f x d x = f ( χ ) ( b - a )

Sabemos que a integral é a área abaixo do gráfico de uma função em dado intervalo, então o que o teorema diz é que existe um número dentro do intervalo para o qual a integral é igual a área de um retângulo com base ( b - a ) e com altura igual ao valor da função naquele ponto.

Pra acharmos qual é esse ponto χ , basta substituirmos diretamente os valores no teorema.

Passo 2

Temos então:

∫ - 2 2 ( x 3 + 1 ) = f χ 2 - ( - 2 )

⇒ 4 = 4 f χ ⇒ f χ = 1

Mas f χ = χ 3 + 1 , então:

χ 3 + 1 = 1 ⇒ χ = 0 .

Passo 3

Para ilustrar o teorema, esboçamos o gráfico da função f x = x 3 + 1 no intervalo [ - 2 ,   2 ] e mostramos o retângulo com base na semi-reta que vai de ( - 2,0 ) a ( 2,0 ) e altura igual a f 0 = 1 .

Note que a integral tem valor - A 4 + A 2 + A 3 ( A 4 com valor negativo pois está abaixo do eixo x) e o retângulo tem área A 1 + A 2 , e se essas duas áreas são iguais isso implica que A 1 = A 3 - A 4 .

Resposta

χ = 0

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