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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 6.5 - Ex. 19

A densidade linear de uma barra de 8 m de comprimento é 12 x + 1 k g m , onde x é medido em metros a partir da ponta da barra. Encontre a densidade média da barra.

Passo 1

Muito bem, antes de começar vamos lembrar de como se calcula o valor médio da função, ok?

Tranquilo, não é? Dos seus 8 metros de comprimento, então vamos integrar a função de 0 até 8, tudo bem?

Só vamos substituir:

d m e d = 1 8 - 0 ∫ 0 8 12 x + 1 . d x

Tiramos as constantes:

d m e d = 1 2 8 ∫ 0 8 d x x + 1

Vamos ter que resolver por substituição:

u = x + 1

Derivando:

d u = d x

Substituímos:

d m e d = 3 2 ∫ 0 8 d u u 1 2 = 3 2 ∫ 0 8 u - 1 2 . d u

Resolvendo:

d m e d = 3 2 . u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 | 8 0 = 3 2 . u 1 2 1 2 | 8 0

d m e d = 3 2 . 2 1 . u 1 2 | 8 0

Substituindo u:

d m e d = 3 ( x + 1 ) 1 2 | 8 0

Aplicando o intervalo:

d m e d = 3 ( 8 + 1 ) 1 2 - ( 0 + 1 ) 1 2

d m e d = 3 9 1 2 - 1 1 2 = 3 3 - 1 = 3 × 2

d m e d = 6 k g m

Resposta

d m e d = 6 k g m

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