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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.2 - Ex. 25

Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela parábola y 2 = 4 p x   p > 0 e pela reta x = p em torno do eixo x = p .

Passo 1

Bom, como estamos trabalhando com a variável x, o elemento de volume será uma casca cilíndrica com centro em x = p . Nossa resposta será escrita em termos de p e precisaremos utilizar a equação de volume por invólucro cilíndrico:

V = 2 π ∫ a b x f x d x

Passo 2

Como a rotação não é sobre eixo x, precisamos adaptar a equação acima para que fique em relação ao eixo x = p , substituiremos o x por p - x . A nossa função será f x = ± 4 p x , para escrevermos ela na integral, vamos somar a parte negativa e a parte positiva ficando com f x = 2 4 p x . E os limites de integração são desde x = 0 onde a função f(x) limita até onde a reta x = p limita.

Substituindo na equação do volume:

V = 2 π ∫ 0 p p - x 2 4 p x d x

Resolvendo o produto e reescrevendo:

V = 8 π ∫ 0 p p p x 1 2 - x p x 1 2 d x

V = 8 π p 1 2 ∫ 0 p p x 1 2 - x 3 2 d x

Integrando cada termo:

V = 8 π p 1 2 2 3 p x 3 2 - 2 5 x 5 2 p 0

Substituindo os limites de integração, ficamos com:

V = 8 π p 1 2 2 3 p 5 2 - 2 5 p 5 2 = 32 π 15 p 3

Resposta

V = 32 π 15 p 3

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