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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.Exercícios práticos - Ex. 8c

8 - Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região "triangular" limitada pela curva y   = 4 x 3 e pelas retas x = 1 e y   = 1 2 em torno:

  1. Do eixo x
  2. Do eixo y
  3. Da reta x = 2
  4. Da reta y = 4

Passo 1

Observe a imagem abaixo:

Para calcular o volume usaremos o método da casca:

V =   ∫ a b 2 π r a i o   d a   c a s c a ⋅ a l t u r a   d a   c a s c a d x

Os limites de integração pelo enunciado é a = 1   e   b = 2 .

Sendo:

R x = 4 x 3   e   r x = 1 2

Passo 2

Inserindo na integral, dado pela figura os limites de integração: a = 1   e   b = 2 .

V = 2 π   ∫ 1 2 ( 2 - x ) 4 x 3 - 1 2     d x

V = 2 π ∫ 1 2 1 2 ⋅ x 4 - 2 x 3 - 8 x + 16 x 3 d x = π ∫ 1 2 x 4 x 3 - 2 x 3 x 3 - 8 x x 3 + 16 x 3 d x

π ∫ 1 2 x - 2 - 8 ⋅ x - 2 + 16 ⋅ x - 3   d x

Resolvendo os limites de integração:

π x 2 2 - 2 x + 8 x - 8 x 2 1 2

Subsituindo com os limites:

π 2 - 4 + 4 - 2 - 1 2 - 2 + 8 - 8

π 0 - 1 2 - 2  

π - 1 2 + 2

π 3 2

Resolvendo os colchetes:

3 2 π   u . v .

Resposta

3 2 π   u . v .

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