Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.2 - Ex. 35a
Nos exercícios 31-36, determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados. Se preferir, você poderá usar anéis para resolvê-los.
35 – A região limitada por , em torno:
A – Do eixo x.
Passo 1
Vamos entender primeiramente o que o gráfico nos implica:
A parte verde foi gerada através do gráfico da função: e a parte preta foi gerada através do gráfico da função: .
Deste modo temos que nas coordenada de y a figura é limitada
Já para as coordenadas de x ela está limitada em
Este será nosso lmite de integração através dos eixos, porém temos que ter em mente que quando a figura rotaciona em torno de um eixo seus valores mudam, deste modo rotacionando em torno do eixo x seus limites serão: e em torno do eixo y .
Assim como a função mudará, vamos descobrir a expressão em torno do eixo x:
Utilizando a propriedade de potenciação e elevando os dois itens ao quadrado:
Na segunda expressão:
Com nossa expressão original do enunciado já está em torno do eixo y, não precisaremos mudar as expressões, vamos lá?
Passo 2
Resolver em torno do eixo x:
Fórmula:
Inserindo na fórmula teremos:
Poderemos escrever a expressão: da seguinte forma: , assim:
Utilizaremos a regra dos sinais para separar as integrais:
Resolvendo a integral teremos:
Inserindo os limites de integração, obteremos o volume:
Resolvendo:
Resolvendo dentro dos colchetes:
Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo que significa unidade de volume.