Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada pelo gráfico de y = 4x - 1/8 * x^4 , pelo eixo x e pela reta x = 2 .

Passo 1

Vamos colocar a região delimitada em uma figura para facilitar a visualização:

Usaremos a equação de volume por invólucro cilíndrico para fazermos a rotação em torno do eixo y:

V = 2 π ∫ a b x f x d x

Passo 2

Como a rotação é em torno do eixo y, não precisamos alterar o integrando, e a f(x) será a própria curva dada no enunciado:

f x = 4 x - 1 8 x 4

Os limites serão dados por x = 0 delimitado pela curva e x = 2 delimitado pela reta na direita. Nossa integral vai ficar:

V = 2 π ∫ 0 2 x 4 x - 1 8 x 4 d x

Passo 3

Vamos agora resolvê-la, reescrevendo a integral acima:

V = 2 π ∫ 0 2 4 x 2 - 1 8 x 5 d x

Integrando cada termo:

V = 2 π 4 3 x 3 - 1 48 x 6 2 0

Substituindo os limites:

V = 2 π 32 3 - 64 48 = 56 π 3

Resposta

V = 56 π 3

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