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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 52

Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y = 1 - 3 x ,   pelo eixo x e pela reta x = 1   gira em torno do eixo x .

Passo 1

Lembrando que o volume de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x é calculado pela fórmula:

V = π ∫ a b y 2 d x

Então, primeiramente, vamos calcular y 2 :

y 2 = 1 - 3 x 2

y 2 = 1 - 6 x + 9 x 2

Vamos reescrever essa expressão para facilitar o próximo passo!

y 2 = 1 - 6 x + 9 x - 2

Passo 2

Agora calcularemos a integral indefinida:

∫ y 2 d x = ∫ 1 - 6 x + 9 x - 2 d x

∫ 1 - 6 x + 9 x - 2 d x = ∫ d x - 6 ∫ 1 x d x + 9 ∫ x - 2 d x

∫ 1 - 6 x + 9 x - 2 d x = x - 6 ln ⁡ x - 9 x - 1 + C

Passo 3

Agora nos já sabemos qual é a nossa integral, mas ainda não sabemos de onde a onde devemos integrar! Nesses casos vale muito a pena analisar o gráfico na função pra ter uma luz.

Em verde temos a função y e em azul temos x = 1 . Assim podemos concluir que temos que integrar de 1 até 3. Vamos nessa:

V = π ∫ 1 3 y 2 d x

V = π x - 6 ln ⁡ x - 9 x - 1 3 1

V = π 3 - 6 ln ⁡ 3 - 9 3 - 1 - 6 ln ⁡ 1 - 9

V = π 8 - 6 ln ⁡ 3

Resposta

V = π 8 - 6 ln ⁡ 3

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Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = 2 x , y = 0 e pelas retas x = 1 em torno Da reta x = 1 .Da reta x = 2 .
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Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .
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