Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 53a
Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada pela parábola e pela reta em torno
- Da reta .
- Da reta .
- Da reta .
Passo 1
Precisamos obter o volume de um sólido de revolução obtido através da rotação de uma região em relação a retas paralelas a ao eixo . Para obtermos este volume, precisamos esboçar a região limitada, para identificar se utilizaremos o método dos discos ou dos anéis. Identificado o método e identificado os limites de integração (basta responder uma simples pergunta: qual o valor mínimo e máximo de na sua região?), só nos resta a parte mais fácil: integrar!!
Passo 2
Vamos começar por esboçar a nossa região limitada pelas curvas.
Em destaque temos a região limitada pelas curvas e em vermelho o nosso eixo de rotação. Como a reta está sob um lado da nossa região, vamos utilizar o método dos disco. Este método nos diz que o volume do sólido é dado pela seguinte integral:
Em que é a função que define o raio dos discos transversais ao eixo de rotação. Vamos repetir a nossa figura da região para deixar claro quem é essa curva!
Agora fica claro quem é a nossa função! Em relação ao nosso sistema de coordenadas inicial, ela é
Passo 3
Podemos partir logo para a integração agora que determinamos as curvas? A resposta é simples e clara: não!! Calma, não sejamos apressados!
A função que obtivemos está escrita em relação ao nosso sistema de coordenadas original: origem, eixo e eixo . Precisamos escrever esta curva em relação ao nosso eixo de rotação. Para isto, é necessário fazer uma translação vertical. Como o eixo corresponde à reta transladada para baixo em 1 unidade, a nossa função deve ser transladada para baixo em 1 unidade também! Portanto, temos:
Vamos pegar o valor absoluto da função, só para fins de sentido, pois como determina um raio, ele deve ser maior que 0. Portanto,
Passo 4
Agora sim! Obtivemos as curvas em relação a nossa reta de rotação e só nos falta determinar os limites de integração. Para isto, basta responder a seguinte pergunta: qual o menor e o maior valor de na nossa região? Eles são -1 e 1, respectivamente. Agora sim, vamos calcular a nossa integral!