Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 51b
Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por e pelas retas e em torno
- Do eixo .
- Do eixo .
- Da reta .
- Da reta .
Passo 1
Precisamos obter o volume de um sólido de revolução obtido através da rotação de uma região em relação aos eixos coordenados, e , e em relação a retas paralelas a eles. Para cada um dos casos, discutiremos um pouco a metodologia necessária para calculá-los. Entretanto, todos eles possuem uma necessidade em comum: esboçar a região limitada! Começaremos por entender como é esta região.
Passo 2
Vamos começar por esboçar a nossa região limitada pelas curvas.
Em destaque temos a região limitada pelas curvas. Como queremos obter a rotação em torno do eixo , utilizaremos o método dos discos. Este método nos diz que o volume do sólido é dado pela seguinte integral:
Em que é a função que define o raio dos discos transversais ao eixo de rotação. Vamos repetir a nossa figura da região para deixar claro quem é essa curva!
Agora fica claro quem é a nossa função! Ela é:
Observem que a mudança feita foi isolar o na função .
Passo 3
Agora que obtemos as curvas, só nos falta determinar os limites de integração. Para isto, basta responder a seguinte pergunta: qual o menor e o maior valor de na nossa região? Eles são 0 e 2, respectivamente. Agora sim, vamos calcular a nossa integral!