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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.4 - Ex. 3

Nos Exercícios de 1 a 25, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

3 .     ∫ - 5 - 3 x d x x 2 - 9

Passo 1

Perceba que temos integral com descontinuidade infinita em x = - 3 . Logo, se a integral converge, então:

∫ - 5 - 3 x d x x 2 - 9 = lim t → - 3 - ⁡ ∫ - 5 t x d x x 2 - 9

Passo 2

Agora vamos achar a integral indefinida para depois resolver a definida.

Faremos a substituição x 2 - 9 = u       →       2 x d x = d u     →       x d x = d u 2 .

∫ x d x x 2 - 9 = ∫ d u 2 u = 1 2 ∫ u - 1 2 d u = 1 2 u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C = 2 2 x 2 - 9 1 2 + C = x 2 - 9 + C

Pronto.

Passo 3

Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

∫ - 5 t x d x x 2 - 9 = x 2 - 9 - 5 t = t 2 - 9 - - 5 2 - 9 = t 2 - 9 - 4

Passo 4

Agora podemos aplicar o limite e resolver a imprópria.

∫ - 5 - 3 x d x x 2 - 9 = lim t → - 3 - ⁡ ∫ - 5 t x d x x 2 - 9 = lim t → - 3 - ⁡ t 2 - 9 - 4 = - 4

∫ - 5 - 3 x d x x 2 - 9 = - 4

A integral converge para - 4 .

Resposta

∫ - 5 - 3 x d x x 2 - 9 = - 4

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