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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.3 - Ex. 19

Ainda que eles não estejam definidos em todo o espaço R3, os campos associados com os Exercícios 18-22 são simplesmente conexos

e o teste dos componentes pode ser utilizado para mostrar que eles

são conservativos. Encontre uma função potencial para cada campo

e calcule as integrais no Exemplo 6.

∫ ( 1,1 , 1 ) ( 1.2,3 )   3 x 2 d x + z 2 y d y + 2 z l n ⁡ y d z

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para esta questão devemos considerar o campo associado a integral ∫ ( 1,1 , 1 ) ( 1,2 , 3 )   3 x 2 d x + z 2 y d y + 2 z l n ⁡ y d z conservativo, existe uma função f com ∇ ‾ f = F ‾ sendo f uma função potencial.

Passo 2

Se 3 x 2 d x + z 2 y d y + 2 z l n ⁡ y d z é exata, temos que 3 x 2 d x + z 2 y d y + 2 z l n ⁡ y d z = d f para alguma função f e o valor da integral é f ( 1,2 , 3 ) - f ( 1,1 , 1 ) . Encontraremos f a menos de uma constante integrando as equações ∂ f ∂ x = 3 x 2 , ∂ f ∂ y = z 2 y , ∂ f ∂ z = 2 z l n ⁡ y

Passo 3

A partir da primeira equação, obtemos: f = x 3 + g ( y , z ) Na segunda equação, teremos que:

∂ f ∂ y = ∂ g ∂ y = z 2 y . 

Descobrimos então que g é: g ( y , z ) = z 2 l n ⁡ | y | + h ( z )

Passo 4

Assim, teremos: f ( x , y , z ) = x 3 + z 2 l n ⁡ | z | + h ( z ) Na última equação temos que ∂ f ∂ z = 2 z l n ⁡ | y | + d h d z = 2 z l n ⁡ | y | , o que implica que d h d z = 0 e portanto h = C .Você descobrirá que f ( x , y , z ) = x 3 + z 2 l n ⁡ | y | + C

Finalmente o resultado desse exercício será a Integral:

∫ ( 1,1 , 1 ) ( 1,2 , 3 )   3 x 2 d x + z 2 y d y + 2 z l n ⁡ y d z = f ( 1,2 , 3 ) - f ( 1,1 , 1 ) = ( 1 + 9 l n ⁡ 2 + C ) - ( 1 + 0 + C ) = 9 l n ⁡ 2

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?d) f → x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 3 2 , y x 2 + y 2 + z 2 3 2 , z x 2 + y 2 + z 2 3 2 em D = x , y , z 0x 2 + y 2 + z 21
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?c) f → x , y = x x 2 + y 2 3 2 , y x 2 + y 2 3 2 em D = x , y x 2 + y 21
Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potencial.b) f → = 1 + y sen ⁡ x i → + 1 - cos ⁡ x j →
Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potencial.c) f → = ln ⁡ x y i → + ln ⁡ y z j → + ln ⁡ z x k →
Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potencial.a) f → = 2 x i → + 5 y z j → + x 2 y 2 z 2 k →