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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.3 - Ex. 5

Quais campos nos Exercícios 1-6 são conservativos e quais não são?

F = ( z + y ) i + z j + ( y + x ) k

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sabemos que, de acordo com o teste das componentes para campos conservativos da página 386 do livro, F → = M ( x , y , z ) i → + N ( x , y , z ) j → + P ( x , y , z ) k → , isto é, um campo vetorial cujos componentes possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas. Então, F → será conservativo se, e somente se apresentar o seguinte:

∂ P ∂ y = ∂ N ∂ z , ∂ M ∂ z = ∂ P ∂ x , ∂ N ∂ x = ∂ M ∂ y

Passo 2

Apliquemos o teste das componentes para campos conservativos em:Sendo F → = ( z + y ) i → + z j ‾ + ( y + x ) k → , temos que:

M ( x , y , z ) = z + y , ∂ M ∂ z = 1 , ∂ M ∂ y = 1 N ( x , y , z ) = z , ∂ N ∂ z = 1 , ∂ N ∂ x = 0 P ( x , y , z ) = y + x , ∂ P ∂ y = 1 , ∂ P ∂ x = 1  Logo:  ∂ P ∂ y = ∂ N ∂ z , ∂ M ∂ z = ∂ P ∂ x , ∂ N ∂ x ≠ ∂ M ∂ y

Resposta

Desse modo encontramos o resultado desse exercício:

F → = ( y s e n ⁡ z ) i → + ( x s e n ⁡ z ) j → + ( x y c o s ⁡ z ) k →  não é conservativo. 

Exercícios de Livros Relacionados

Determine (a) o rotacional e (b) a divergência do campo vetorial. F x , y , z = i + x + y z j + x y - z k
Determine (a) o rotacional e (b) a divergência do campo vetorial. F x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 i + y x 2 + y 2 + z 2 j + z x 2 + y 2 + z 2 k
Determine (a) o rotacional e (b) a divergência do campo vetorial. F x , y , z = i + x + y z j + x y - z k
Determine (a) o rotacional e (b) a divergência do campo vetorial. F x , y , z = ⟨ x e - y , x z , z e y ⟩
Determine (a) o rotacional e (b) a divergência do campo vetorial. F x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 i + y x 2 + y 2 + z 2 j + z x 2 + y 2 + z 2 k