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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.3 - Ex. 27

Nos Exercícios 27 e 28, encontre uma função potencial para F

F = 2 x y i + 1 - x 2 y 2 j , { ( x , y ) : y > 0 }

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Você já deve saber que: definimos um campo F → como conservativo se F → for um campo gradiente ∇ → f para uma função derivável f .

Passo 2

Observel Seja o campo F → = 2 x y i → + 1 - x 2 y 2 j → = ∇ → f Se ∂ P ∂ y = ∂ N ∂ z , ∂ M ∂ z = ∂ P ∂ x , ∂ N ∂ x = ∂ M ∂ y

∂ P ∂ y = 0 = ∂ N ∂ z , ∂ M ∂ z = 0 = ∂ P ∂ x , ∂ N ∂ x = - 2 x y 2 = ∂ M ∂ y

Assim,   ∇ → f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k → Dessa forma, podemos escrever que:

∂ f ∂ x = 2 x y , ∂ f ∂ y = 1 - x 2 y 2

Passo 3

Então, temos que:Se ∂ f ∂ x = 2 x y então f = ∫ 2 x y d x + g ( y , z ) = x 2 y + g ( y ) Se ∂ f ∂ y = - x 2 y 2 + d g d y então d g d y = 1 y 2 Se d g d y = 1 y 2 então g = ∫ 1 y 2 d y = - 1 y + C

Passo 4

Assim, podemos concluir que o resultado será:

f ( x , y ) = x 2 y - 1 y + C  E  F → = ∇ → x 2 - 1 y

Resposta

f ( x , y ) = x 2 y - 1 y + C  E  F → = ∇ → x 2 - 1 y

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