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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 18d

Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?

d) f → x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 3 2 , y x 2 + y 2 + z 2 3 2 , z x 2 + y 2 + z 2 3 2 em D = x , y , z 0 < x 2 + y 2 + z 2 < 1

Passo 1

Pelo teorema 6.9 . 3 , se rot ⁡ f → = 0 , podemos afirmar que o campo é conservativo, e que f → admite uma função potencial f x , y , z .

Passo 2

Vamos então calcular rot ⁡ f → para verificar polo teorema 6.9 . 3 se o campo é conservativo.

Então basta fazermos o seguinte:

rot ⁡ f → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f 1 f 2 f 3

rot ⁡ f → = ∂ f 3 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z i → + ∂ f 1 ∂ z - ∂ f 3 ∂ x j → + ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y k →

Passo 3

Aplicando a formula cima em f → temos:

rot ⁡ f → = ∂ z x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ y - ∂ y x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ z i → + ∂ x x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ z - ∂ z x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ x j → + ∂ y x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ x - ∂ x x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ y k →

rot ⁡ f → = z ⋅ - 3 2 ⋅ x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 ⋅ 2 y - y ⋅ - 3 2 ⋅ x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 ⋅ 2 z i → + x ⋅ - 3 2 ⋅ x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 ⋅ 2 z - z ⋅ - 3 2 ⋅ x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 ⋅ 2 x j → + y ⋅ - 3 2 ⋅ x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 ⋅ 2 x - x ⋅ - 3 2 ⋅ x 2 + y 2 + z 2 3 2 ⋅ 2 y k →

rot ⁡ f → = - 3 y z x 2 + y 2 + z 2 3 2 + 3 y z x 2 + y 2 + z 2 3 2 i → + - 3 x z x 2 + y 2 + z 2 3 2 - 3 x z x 2 + y 2 + z 2 3 2 j → + - 3 x y x 2 + y 2 + z 2 3 2 + 3 x y x 2 + y 2 + z 2 3 2 k →

rot ⁡ f → = 0 →

Passo 4

Temos agora que analisar o domínio. Para isso podemos plotar um gráfico do domínio.

Podemos observar que D não contém a origem 0 , 0 , 0 e que D é simplesmente conexo. Portanto podemos afirmar que o campo é conservativo em D .

Resposta

rot ⁡ f → = 0 →

Campo vetorial é conservativo em D , f → admite uma função potencial f x , y , z .

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