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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.4 - Ex. 58b

Prove que:

Passo 1

Belezinha, a primeira coisa que nós vamos fazer é assumir que:

y = a r c cos ( x )

Aplicando a função c o s nos dois lados da igualdade temos que:

cos ( y ) = x

Passo 2

Agora, vamos atribuir os valores que encontramos para x e y na expressão original:

a r c cos ( x ) = (pi)/(2) - a r c t g ((x)/(sqrt(1 - x^2)))

y = (pi)/(2) - a r c t g ((cos (y))/(sqrt(1 - cos^2 (y))))

y = (pi)/(2) - a r c t g ((cos (y))/(sqrt(s e n^2 ( y ))))

Cortando o quadrado do denominador com a raiz, temos que:

y = (pi)/(2) - a r c t g ((cos (y))/(s e n ( y )))

y - (pi)/(2) = - a r c t g ((cos (y))/(s e n ( y )))

(pi)/(2) - y = a r c t g ((cos (y))/(s e n ( y )))

Aplicando a função t g nos dois lado da igualdade, temos que:

t g ((pi)/(2) - y) = (cos (y))/(s e n (y))

Passo 3

Beleza, agora nós temos que dar um jeito provar que:

t g ((pi)/(2) - y) = (cos (y))/(s e n (y))

Para isso, vamos reescrever o lado esquerdo dessa equação da seguinte forma:

t g ((pi)/(2) - y) = (s e n ((pi)/(2) - y))/(cos ( (pi)/(2) - y ))

= (s e n ((pi)/(2)) . cos (y) - s e n (y) . cos ((pi)/(2)))/(cos ((pi)/(2)) . cos ( y ) + s e n ((pi)/(2)) . s e n ( y ))

= (1 . cos (y) - s e n (y) . 0)/(0 . cos ( y ) + 1 . s e n ( y ))

= (cos (y))/(s e n (y))

Substituindo a nova forma que encontramos na expressão, temos que:

(cos (y))/(s e n (y)) = (cos (y))/(s e n (y))

O que é verdade!

Portanto, podemos afirmar que a expressão inicial que manipulamos para chegar nesse resultado também está correta.

Logo, está provado que:

a r c cos ( x ) = (pi)/(2) - a r c t g ((x)/(sqrt(1 - x^2)))

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Construir o gráfico das seguintes funções trigonométricas. Verificar se são periódicas e em caso afirmativo determinar o período. y = sen ⁡ k x ,k = 2 ,3 , 1 2e 1 3 ; y = k cos ⁡ x ,k = 2 ,3 , 1 2 , 1
Mostre a validade das expressões:a r g cosh x = ln ( x + sqrt(x^2 - 1) ) , x = 1 ;arg tanh x = (1)/(2) ln ((1 + x)/(1 - x)) , - 1x1 ;arg sech x = ln ((1 + sqrt(1 - x^2))/(x)) , 0x = 1
Defina uma função inversa para y = cosh ⁡ x , para x ≤ 0 . Esboce o gráfico.
Dada a função f (x) = 2 senh x - 3 tanh x , calcule f ( 2 ) , f ( - 1 ) e f ( 0 ) .
Sendo f (x) = cosh x , mostre quef [ln (x + sqrt(x^2 - 1))] = x