Prove que:

Passo 1

Belezinha, a primeira coisa que nós vamos fazer é assumir que:

y = a r c cos ⁡ ( x )

Aplicando a função c o s nos dois lados da igualdade temos que:

cos ⁡ ( y ) = x

Passo 2

Agora, vamos atribuir os valores que encontramos para x e y na expressão original:

a r c cos ⁡ ( x ) = π 2 - a r c   t g x 1 - x 2

y = π 2 - a r c   t g cos ⁡ y 1 - cos 2 ⁡ y

y = π 2 - a r c   t g cos ⁡ y s e n 2 ( y )

Cortando o quadrado do denominador com a raiz, temos que:

y = π 2 - a r c   t g cos ⁡ y s e n ( y )

y - π 2 = - a r c   t g cos ⁡ y s e n ( y )

π 2 - y = a r c   t g cos ⁡ y s e n ( y )

Aplicando a função t g nos dois lado da igualdade, temos que:

t g π 2 - y = cos ⁡ y s e n y

Passo 3

Beleza, agora nós temos que dar um jeito provar que:

t g π 2 - y = cos ⁡ y s e n y

Para isso, vamos reescrever o lado esquerdo dessa equação da seguinte forma:

t g π 2 - y = s e n π 2 - y cos ⁡ ( π 2 - y )

= s e n π 2 . cos ⁡ y - s e n y . cos ⁡ π 2 cos ⁡ π 2 . cos ⁡ ( y ) + s e n π 2 . s e n ( y )

= 1 . cos ⁡ y - s e n y . 0 0 . cos ⁡ ( y ) + 1 . s e n ( y )

= cos ⁡ y s e n y

Substituindo a nova forma que encontramos na expressão, temos que:

cos ⁡ y s e n y = cos ⁡ y s e n y

O que é verdade!

Portanto, podemos afirmar que a expressão inicial que manipulamos para chegar nesse resultado também está correta.

Logo, está provado que:

a r c cos ⁡ ( x ) = π 2 - a r c   t g x 1 - x 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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