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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 2.17 - Ex. 35a

Mostre a validade das expressões:

  1. a r g cosh x = ln ( x + sqrt(x^2 - 1) ) , x >= 1 ;
  2. arg tanh x = (1)/(2) ln ((1 + x)/(1 - x)) , - 1 < x < 1 ;
  3. arg sech x = ln ((1 + sqrt(1 - x^2))/(x)) , 0 < x <= 1

Passo 1

Galera, seja y = arg cosh x , x >= 1 . Por definição, temos que x = cosh y , y >= 0 e x = (e^y + e^(- y))/(2) , y >= 0 . Podemos reescrever a última expressão como:

2 x = e^y + e^(- y)

e^y - 2 x + e^(- y) = 0

e^(2 y) - 2 x e^y + 1 = 0

Passo 2

Vamos fazer uma substituição de variáveis aqui. Seja a = e^y . Assim, nossa equação se torna:

a^2 - 2 x a + 1 = 0

Resolvendo essa equação de segundo grau, temos:

a = (2 x +- sqrt(4 x^2 - 4))/(2)

Voltando para a variável original:

e^y = (2 x +- sqrt(4 x^2 - 4))/(2) = x +- sqrt(x^2 - 1) , y >= 0

Sabemos que y >= 0 e x >= 1 , logo e^y >= 1 . Quando x = 1 ,

x + sqrt(x^2 - 1) = 1

Quando x > 1 ,

x - sqrt(x^2 - 1) < 1

Portanto, podemos desprezar o sinal ( - ) da solução da equação de segundo grau e teremos:

arccosh x = ln ( x + sqrt(x^2 - 1) ) , x >= 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em cada caso, determine o conjunto ao qual m deve pertencer de modo que exista x, satisfazendo a igualdade: a ) c o t gx = 2 - m b ) sec ⁡ x = 3 m - 2 c ) c o s s e cx = 2 m - 1 1 - 3 m
Determine o domínio e o período das seguintes funções reais: f x = c o t g x - π 3 g x = sec ⁡ 2 x h x = c o s s e c x + π 4
Seja a função f x = cos ⁡ 2 a r c cos ⁡ x ,- 1 ≤ x ≤ 1 . Determine os valores de x tais que f(x) = 0.Esboce o gráfico de g x = 1 f x .
Qual é o período das seguintes funções reais: a) f (x) = s e n x * cos x
Estude a variação das seguintes funções reais: a) f (x) = 8 * s e n^2 x * cos^2 x