Mostre a validade das expressões:

  1. a r g cosh(x) = ln(x + raiz(x^2 - 1), x >= 1 ;
  2. arg(tanh(x)) = 1/2 * ln((1 + x) / (1 - x)), -1 < x < 1 ;
  3. arg(sech(x)) = ln((1 + raiz(1 - x^2)) / x), 0 < x ≤ 1

Passo 1

Galera, seja y = arg cosh x , x >= 1 . Por definição, temos que x = cosh y , y >= 0 e x = (e^y + e^(- y))/(2) , y >= 0 . Podemos reescrever a última expressão como:

2 x = e^y + e^(- y)

e^y - 2 x + e^(- y) = 0

e^(2 y) - 2 x e^y + 1 = 0

Passo 2

Vamos fazer uma substituição de variáveis aqui. Seja a = e^y . Assim, nossa equação se torna:

a^2 - 2 x a + 1 = 0

Resolvendo essa equação de segundo grau, temos:

a = (2 x +- sqrt(4 x^2 - 4))/(2)

Voltando para a variável original:

e^y = (2 x +- sqrt(4 x^2 - 4))/(2) = x +- sqrt(x^2 - 1) , y >= 0

Sabemos que y >= 0 e x >= 1 , logo e^y >= 1 . Quando x = 1 ,

x + sqrt(x^2 - 1) = 1

Quando x > 1 ,

x - sqrt(x^2 - 1) < 1

Portanto, podemos desprezar o sinal ( - ) da solução da equação de segundo grau e teremos:

arccosh x = ln ( x + sqrt(x^2 - 1) ) , x >= 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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