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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.4 - Ex. 60b

Utilize o resultado do exercício 59 para mostrar que:

Passo 1

O resultado que chegamos no exercício 59 é que:

a r c   t g x + a r c   t g y = a r c   t g x + y 1 - x y

Passo 2

Vamos começar esse exercício supondo que:

A = a r c   t g 1 3

Logo,

t g A = 1 3

E que:

B = a r c   t g 1 7

Logo,

t g B = 1 7

Passo 3

Reescrevendo a expressão original, nós ficaremos com o seguinte:

2 A + B = π 4

Aplicando a função t g nos dois lados da igualdade:

t g 2 A + B = t g π 4

t g 2 A + B = 1

Passo 4

Agora, devemos nos lembrar da seguinte propriedade:

t g α + β = t g α + t g β 1 - t g α . t g ( β )

Logo,

t g 2 A + B = t g 2 A + t g B 1 - t g 2 A . t g ( B )

Passo 5

Mas antes de substituirmos os valores que já conhecemos nessa expressão, temos que dar um jeito de trocar t g ( 2 A ) por algo conhecido, para isso usaremos a seguinte propriedade:

t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 ( α )

Logo,

t g 2 A = 2 t g A 1 - t g 2 ( A )

Agora sim! Nós sabemos que t g A = 1 3 , então:

t g 2 A = 2 × 1 3 1 - 1 3 2

t g 2 A = 2 3 1 - 1 9 = 2 3 8 9 = 2 3 × 9 8 = 18 24 = 3 4

Passo 6

Substituindo o que acabamos de encontrar na expressão que tínhamos:

t g 2 A + B = t g 2 A + t g B 1 - t g 2 A . t g ( B )

t g 2 A + B = 3 4 + 1 7 1 - 3 4 × 1 7

t g 2 A + B = 21 + 4 28 1 - 3 28   = 25 28 25 28 = 1

Passo 7

Portanto, nós acabamos de provar que:

t g 2 A + B = 1

Com isso, provamos que:

t g 2 A + B = t g π 4

E, consequentemente, provamos por transitividade a relação inicial:

2 a r c   t g 1 3 + a r c   t g 1 7 = π 4

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Se f x = a r c t a nx prove que f x + f y = f x + y 1 - x y
Determinar o domínio das seguintes funções: y = arccos ⁡ 2 x 1 + x ; y = arcsen ⁡ log 10 ⁡ x 10 ; y = sen ⁡ 2 x .
Determinar o domínio das seguintes funções: y = arccos ⁡ 2 x 1 + x ; y = arcsen ⁡ log 10 ⁡ x 10 ; y = sen ⁡ 2 x .
Seja f x = arccos ⁡ ( log 10 ⁡ x ) . Calcular f 1 10 ,f 1ef ( 10 ) .
Prove as identidades: 1 - tanh 2 ⁡ u = sech 2 ⁡ u ; 1 - c o t g h 2 u = - c o s s e c h 2 u .