Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 1.5 - Ex. 62
Após acionado o flash de uma câmera, a bateria imediatamente começa a recarregar o capacitor do flash, que armazena uma carga elétrica dada por
(A capacidade máxima de carga é , e é medida em segundos.)
(a) Encontre a função inversa e explique seu significado.
(b) Quanto tempo levará para recarregar o capacitor da capacidade, se ?
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... a questão nos dá a seguinte função:
Onde é uma constante e é a nossa variável, o tempo de recarga em segundos.
Queremos encontrar a função inversa (e explicar o que ela significa) e determinar o tempo que levará para recarregar o capacitor da capacidade se .
Na maioria das vezes, calcular a inversa é um processo bem simples. No geral, basta isolar a variável independente, que no caso aqui é .
Se é uma função de , sua inversa vai ser , uma função de .
Vamos lá!
E aí?? Bora lá?? 😉
Passo 2
Agora, vamos isolar com uma álgebra simples (lembrando que não é uma variável e sim uma constante do problema):
Vamos colocar todos os termos independentes de do mesmo lado:
Agora, vamos lembrar que a função inversa da exponencial é o logaritmo, então se a gente aplicar log dos 2 lados, tiramos o do expoente. Mas expecificamente, temos que aplicar o logaritmo neperiano, que é o log de base
Como eu disse, o log é a função inversa da exponencial, então elas se cancelam:
Portanto, nossa equação fica assim:
E jogando o pro outro lado, encontramos a inversa!
Passo 3
Com a inversa calculada, podemos agora extrair um significado disso, e é bem simples.
Se antes, medindo o tempo podíamos calcular a carga do capacitor, com a função inversa, tendo medido a carga instantânea podemos calcular quanto tempo se passou desde o momento do flash até o instante correspondente a essa carga.
Passo 4
O item (b) dessa questão cobra exatamente o significado da função inversa visto no passo anterior, ou seja, queremos saber quanto tempo se passou desde o instante inicial (flash) até o instante da carga correspondente a 90% do valor máximo ().
Substituindo na função inversa: que encontramos no passo 2:
Agora resolvendo:
E como :
segundos
Levará aproximadamente 4,6 segundos para que o capacitor alcance 90% da capacidade.
Entendeu direitinho?? Responde aee 😉