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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.7 - Ex. 4

Após a estréia, a publicidade de determinado filme foi interrompida e a frequência decresceu numa taxa proporcional. Se no dia da estréia a frequência num certo cinema era de 5.000 e no terceiro dia, de 2.000, qual a frequência esperada no sexto dia?

Passo 1

Sendo y a frequência no cinema, a taxa de decrescimento de y é proporcional a y . Temos então a equação diferencial:

d y d t = - k y

Onde k é uma constante de proporcionalidade. Devemos então resolver a equação diferencial para y 0 = 5000 e y 3 = 200 , sendo t o número de dias depois da abertura.

Passo 2

Separando as variáveis, temos:

d y y = - k d t

Integrando os dois lados:

∫ d y y = ∫ - k d t ⇒ ln ⁡ | y | = - k t + C

Sendo C uma constante. Transformamos então a equação usando a relação ln ⁡ a = b ⇒ a = e b :

y = e - k t + C ⇒ y = A e - k t

Sendo A = ± e C uma constante.

Passo 3

Para completar nossa equação, precisamos achar os valores de A e k . De y 0 = 5000 , temos:

A e 0 = 5000 ⇒ A = 5000 ⇒ y = 5000 e - k t

Agora, de y 3 = 2000 , obtemos:

5000 e - 3 k = 2000 ⇒ e - 3 k = 2000 5000 = 0,4

Aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ e - 3 k = ln ⁡ 0,4 ⇒ - 3 k = ln ⁡ 0,4 ⇒ k = - ln ⁡ 0,4 3 ≈ 0,30543

Passo 4

Agora temos a função completa:

y t = 5000 e - 0,30543 t

No sexto dia, y ( 6 ) :

y 5 = 5000 e - 0,30543 ⋅ 6 = 5000 e - 1,8326 = 800

Resposta

A   f r e q u ê n c i a   e s p e r a d a   é   d e   800 .

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