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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.1 - Ex. 41

Arco do Exemplo 3 Encontre Ix para o arco do Exemplo 3

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A questão pede para encontrarmos o momento de inércia em relação ao eixo x de um fio circular y 2 + z 2 = 1 no plano y z , cuja densidade é δ = 2 - z .

Para isso vamos utilizar a integral de linha apresentada na teoria do livro, página 365 , tabela 16.1:

I x = ∫ C   y 2 + z 2 δ d s = ∫ C   y 2 + z 2 δ d r d t d t

Passo 2

Você já sabe qual será o primeiro passo, certo? Encontrar o vetor posição!Devido à simetria do problema é interessante usarmos coordenadas polares para a parametrização:

y = c o s ⁡ t  e  z = s e n ⁡ t , c o m ⁡ 0 ≤ t ≤ π .

Como o vetor posição é dado por r → = x i → + y j → , substituindo os valores de x ( t ) e y ( t ) na expressão anterior, teremos que: r → ( t ) = ( c o s ⁡ t ) j → + ( s e n ⁡ t ) k → .Assim, podemos encontrar a sua derivada como sendo:

d r → d t = ( - s e n ⁡ t ) j → + ( c o s ⁡ t ) k →

E calculando o módulo do vetor posição d r → d t temos:

d r → d t = ( - s e n ⁡ t ) 2 + ( c o s ⁡ t ) 2 = s e n 2 ⁡ t + c o s 2 ⁡ t = 1

Lembrando que pela relação fundamental da trigonometria s e n 2 ⁡ t + c o s 2 ⁡ t = 1 .

Passo 3

A partir daqui podemos voltar em:

I x = ∫ C   y 2 + z 2 δ d s = ∫ C   y 2 + z 2 δ d r ‾ d t d t

E substituir d r ‾ d t pelo valor encontrado.Teremos então que:

I x = ∫ C     y 2 + z 2 δ d r ‾ d t d t = ∫ 0 π     ( c o s ⁡ t ) 2 + ( s e n ⁡ t ) 2 ( 2 - s e n ⁡ t ) d t = ∫ 0 π     ( 2 - s e n ⁡ t ) d t =   = [ 2 t + c o s ⁡ t ] 0 π = [ ( 2 π - 1 ) - ( 0 π + 1 ) ] = 2 π - 2

Resposta

Resposta nos passos.

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