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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 47

Inércia e centro de massa de uma casca - Encontre I z e o centro de massa de uma casca fina de densidade δ x , y , z = z cortada a partir da porção superior da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 25 pelo plano z = 3 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Levando em conta que z ≥ 3 temos que

x 2 + y 2 + z 2 = 25 → x 2 + y 2 = 25 - z 2

Como z ≥ 3 , temos a seguinte desigualdade

x 2 + y 2 ≥ 25 - 9 = 16

Portanto, a projeção da superfície no plano x y é a região delimitada pelo círculo

x 2 + y 2 = 16

Que pode ser descrito como

R = r , θ , z 0 ≤ θ ≤ 2 π ,     0 ≤ r ≤ 4 ,     z = 0 }

Nós escolhermos p = k como vetor normal para esta região no plano x y , agora, no caso da esfera, obtemos que

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 → ∇ f = ∇ x 2 + y 2 + z 2

Desenvolvendo os termos

∇ f = 2 x i + y j + z k

Com isso, nós temos que

d σ = ∇ f ∇ f ∙ p d A = 2 x i + y j + z k 2 z d A

Desenvolvendo os termos, temos que

d σ = 2 x 2 + y 2 + z 2 2 z d A = 2 25 2 z d A = 5 z d A

Onde z = z r , θ = 25 - r 2 . A massa do fio é dado que

M = ∬ δ   d σ = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 z r , θ 5 z r , θ   r   d r d θ

Desenvolvendo os termos, nós temos que

M = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 5 r   d r d θ = 5 2 π r 2 2 0 4 = 10 π 8 = 80 π

Passo 2

O momento de inércia I z é dado por

I z = ∬ x 2 + y 2 δ   d σ = ∬ r 2   z 5 z r   d r d θ

Desenvolvendo os termos

I z = 5 ∫ 0 2 π ∫ 0 4 r 3   d r = 5 2 π r 4 4 0 4 = 5 2 π 128 = 640 π

Por outro lado, podemos notar que a superfície é simétrica em relação ao eixo z, e que a densidade do fio, δ , não depende das variáveis ​​x e y. Portanto, x - = y - = 0 . Para encontrar a coordenada z do centro de massa, determinamos o momento em relação ao plano x y . é dado por

M x y = ∬ z δ   d σ = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 z r , θ 5 z r , θ   r   d r d θ

Essa integral será simplificada para a seguinte forma

M x y = 5 2 π - 1 2 ∫ 0 4 25 - r 2 1 2   d 25 - r 2

Que tem como resultado

M x y = - 5 π 2 3 25 - r 2 3 2 0 4 = - 10 π 3 27 - 125 = 980 3 π

Assim, a coordenada z do centro de massa é

z - = M x y M = 980 π 3 80 π = 49 12

O centro de massa é localizado no ponto 0,0 , 49 12 .

Resposta

I z = 640 π

O   c e n t r o   d e   m a s s a   é   l o c a l i z a d o   n o   p o n t o   0,0 , 49 12 .

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