(a) Escreva fórmulas semelhantes à Equação para o centro de massa de um arame fino com função densidade e forma da curva espacial .

(b) Determine o centro de massa de um arame com formato da hélice se a densidade for uma constante .

(a) Pessoal, podemos escrever as coordenadas do centro de massa como integrais de linha, semelhantes à Equação dessa seção, que serão assim:

Como o livro já nos deu essas equações de centro de massa, falta , do mesmo jeito:

onde temos a massa calculada assim:

(b) Show! Podemos usar as equações obtidas pra determinar o centro de massa do arame.

Vamos usar a parametrização dada pelo exercício para conseguirmos escrever a integral de linha como uma integral iterada:

Primeiro, vamos calcular a massa

Onde é definida pela fórmula:

Vamos calcular as derivadas parciais das parametrizações que nos foram dadas:

Substituindo na fórmula, chegaremos a

Assim, a massa será definida por:

Substituindo os limites de integração:

Beleza! Agora vamos calcular as coordenadas do centro de massa, também usando as equações do item (a). Como já temos o resultado da massa, colocaremos na fórmula tudo o que já temos:

Colocando os limites de Integración:

Para a outra coordenada, a mesma ideia:

E para :

Os limites de integração...

Assim, o centro de massa é dado por