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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 42

Fio com densidade variável - Encontre o centro de massa de um fio fino presente ao longo da curva r t = t i + 2 t j + 2 3 t 3 / 2 k ,   0 ≤ t ≤ 2 , se a densidade em t for δ = 3 5 + t .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A massa do fio é dada por

M = ∫ δ   d s = ∫ 0 2 δ t   d s t

Onde

d s = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2   d t

Substituindo os termos, nós temos que

d s = 1 2 + 2 2 + t 1 2 2   d t = 5 + t   d t

Portanto, a massa será igual a

M = 3 ∫ 0 2 3 5 + t 5 + t   d t = 3 ∫ 0 2 5 + t   d t

Essa integral tem como resultado

M = 3 5 t + t 2 2 0 2 = 3 10 + 2 = 36

Passo 2

Os momentos sobre os planos coordenados são

M y z = ∫ x δ   d s = ∫ 0 2 x t δ t 5 + t   d t

Desenvolvendo os termos

M y z = ∫ 0 2 3 t 5 + t   d t = 3 5 t 2 2 + t 3 3 0 2

Substituindo os valores já conhecidos

M y z = 3 5 4 2 + 8 3 = 38

Para M x z nós temos que

M x z = ∫ y δ   d s = 2 ∫ x δ   d s = 2 M y z = 76

E para M x y

M x y = ∫ z δ   d s = ∫ 0 2 2 3 t 3 / 2 5 + t ( 3 5 + t )   d t

Desenvolvendo a integral

M x y = 2 ∫ 0 2 t 3 2 5 + t d t = 2 5 t 5 2 5 2 + t 7 2 7 2   0 2

Que tem como resultado

M x y = 2 2 4 2 + 2 7 8 2 = 4 7 28 2 + 8 2 = 144 7 2  

Passo 3

Agora, podemos notar que as coordenadas do centro de massa são

x - = 1 M M y z = 1 36 38 = 19 18

y - = 1 M M x z = 1 36 76 = 19 9

z - = 1 M M x y = 1 36 144 7 7 = 4 2 7

Assim, o centro de massa está localizado em

x - , y - , z - = 19 18 , 19 9 , 4 2 7

Resposta

x - , y - , z - = 19 18 , 19 9 , 4 2 7

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