Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.1 - Ex. 40

Fio de densidade constante Um fio de densidade constante δ = 1 encontra-se ao longo da curva

r ( t ) = ( t c o s ⁡ t ) i + ( t s e n ⁡ t ) j + ( 2 2 / 3 ) t 3 / 2 k ,   0 ≤ t ≤ 1 .

Encontre z ‾ e I z

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A questão pede ara encontrarmos a coordenada z do centro de massa ( z ‾ ) e o momento de inércia em relação ao eixo z I z de um fio que se encontra ao longo da curva r → = ( t c o s ⁡ t ) i → + ( t s e n ⁡ t ) j → + 2 2 3 t 3 / 2 k → , com 0 ≤ t ≤ 1 , e com densidade ( δ ) constante.Para isso vamos utilizar as integrais de linha apresentadas na teoria do livro, página 365 , tabela 16.1:

z ‾ = M x y M c o m ⁡ M x y = ∫ C     z δ d r → d t d t ,   M = ∫ C     δ d r → d t d t I z = ∫ C     x 2 + y 2 δ d s = ∫ C     x 2 + y 2 δ d r → d t d t

Passo 2

vetor posição é dado no enunciado do problema: r → = ( t c o s ⁡ t ) i → + ( t s e n ⁡ t ) j → + 2 2 3 t 3 / 2 k → Calculando a sua derivada, temos:

d r → d t = ( c o s ⁡ t - t s e n ⁡ t ) i → + ( s e n ⁡ t + t c o s ⁡ t ) j → + 2 t k →

Atenção! É importante lembrarmos aqui que para calcularmos as derivadas de multiplicação utilizamos a regra da cadeia:

d ( t c o s ⁡ t ) d t = d t d t c o s ⁡ t + t d c o s ⁡ t d t = c o s ⁡ t - t s e n ⁡ t . d ( t s e n ⁡ t ) d t = d t d t s e n ⁡ t + t d s e n t d t = s e n ⁡ t + t c o s ⁡ t

Vamos agora encontrar o módulo do vetor posição d r ‾ d t :

d r ‾ d t = ( c o s ⁡ t - t s e n ⁡ t ) 2 + ( s e n ⁡ t + t c o s ⁡ t ) 2 + ( 2 t ) =   = c o s 2 ⁡ t - 2 t c o s ⁡ t s e n 2 + t 2 s e n 2 ⁡ t + s e n 2 ⁡ t + 2 t s e n ⁡ t c o s ⁡ t + t 2 c o s 2 ⁡ t + 2 t = t 2 + 2 t + 1 =   = ( t + 1 ) 2 = t + 1

Passo 3

Em seguida, podemos calcular a massa do fio:

M = ∫ C   δ d r ‾ d t d t = ∫ 0 1   ( t + 1 ) d t = t 2 2 + t 0 1 = 1 2 + 1 = 3 2

E também o primeiro momento em relação ao eixo z :

M x y = ∫ C     z δ d r ‾ d t d t = ∫ 0 1     2 2 3 t 3 / 2 ( t + 1 ) d t = 2 2 3 ∫ 0 1     t 5 / 2 + t 3 / 2 d t = 2 2 3 2 7 t 7 / 2 + 2 5 t 5 / 2 0 1 =   = 2 2 3 2 7 + 2 5 = 2 2 3 24 35 = 16 2 35

Passo 4

Assim, temos que:

z ‾ = M x y M = 16 2 35 3 2 = 16 2 35 2 3 = 32 2 105

Para chegar ao momento de inércia em relação ao eixo z , c o m ⁡ x = t c o s ⁡ t , y = t s e n t , fazemos:

I z = ∫ C     x 2 + y 2 δ d r → d t d t = ∫ 0 1     ( t c o s ⁡ t ) 2 + ( t s e n ⁡ t ) 2 ( t + 1 ) d t = ∫ 0 1     t 3 + t 2 d t = t 4 4 + t 3 3 0 1 =   = 1 4 + 1 3 = 7 12

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o momento de inércia do fio homogêneo γ t = cos ⁡ t ,s e nt ,t , 0 ≤ t ≤ π / 2 , em torno do eixo O x .
Calcule o momento de um fio γ t = t , 2 t , 3 t , 0 ≤ t ≤ 1 , com densidade linear δ x , y , z = x + y + z , em torno do eixo O z .
Calcule o momento de um fio homogêneo com a forma de uma circunferência de raio R , em torno de um diâmetro.
Calcule o momento de inércia de um fio retínineo, homogêneo, de comprimento L , em torno de um eixo perpendicular ao fio e passando por uma das extremidades do fio.
O centro de massa de um fio γ : a , b → R 3 é o ponto x c , y c , z c dado por: x c = ∫ γ x d m ∫ γ d m , y c = ∫ γ y d m ∫ γ d m ,z c = ∫ γ z d m ∫ γ d m Onde d m = δ x , y , zd s é o elemento de mas