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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.8 - Ex. 12

Área de uma elipse A área pab da elipse x2/a2 + y2/b2 = 1

pode ser encontrada integrando a função ƒ(x, y) = 1 sobre a

região delimitada pela elipse no plano xy. Calcular a integral

diretamente exige uma substituição trigonométrica. Uma maneira mais fácil de calcular a integral é utilizar a transformação

x = au, y = by e calcular a integral transformada sobre o disco

G: u2 + y2 ≤ 1 no plano uy. Encontre a área dessa forma.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Como sabemos a área π a b da elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 pode ser encontrada através da integração f ( x , y ) = 1 sobre a região delimitada pela elipse no plano x y . A resolução direta da integral implica em uma substituição trigonométrica.

A questão nos traz outra transformação mais simples de se chegar ao resultado e pede para usarmos essa informação para calcularmos a valor da área.Vamos lá?

Passo 2

O jacobiano da função vale:

∂ ( x , y ) ∂ ( r , θ ) = J ( u , v ) = a 0 0 b J ( u , v ) = a b

Passo 3

Assim, temos os cálculos da integral:

A = ∬ R     d y d x = ∬ G     a b d u d v A = ∫ - 1 1     ∫ 1 - u 2 1 - u 2     a b d v d u A = 2 a b ∫ - 1 1     1 - u 2 d u A = 2 a b u a 1 - u 2 + 1 2 s e n - 1 ⁡ u - 1 1 A = a b s e n - 1 ⁡ 1 - s e n - 1 ⁡ ( - 1 ) A = a b π 2 - - π 2 A = a b π

Resposta

A = a b π

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