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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.8 - Ex. 22

Volume de um elipsoide Encontre o volume do elipsoide

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 .

(Sugestão: sejam x = a u , y = b v e z = c w . Então encontre o volume de uma região apropriada no espaço u v w .)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício encontraremos o volume do elipsoide:

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Passo 2

O jacobiano da função é: J ( u , v , w ) = a 0 0 0 b 0 0 0 c = a b c

Passo 3

A transformação traz a região do elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 ≤ 1 no espaço x y z para a região esférica u 2 + v 2 + w 2 ≤ 1 no espaço uvw, cujo volume é V = 4 3 π O volume então é:

V   = ∭ R     d x d y d z = ∭ G     a b c d u d v d w V   = 4 π a b c 3

Resposta

Resposta nos passos.

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Utilize a transformacao no Exercicio 3 para calcular a integral ∫ R ∫ 3 x 2 + 14 x y + 8 y 2 d x d y para a regiao R no primeiro quadrante delimitada pelas retas y = – (3/2)x + 1, y = – (3/2)x + 3, y