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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.8 - Ex. 19

Calcule o determinante apropriado para mostrar que o jacobiano da transformação do espaço cartesiano rfu para o espaço

cartesiano xyz é r2 sen f.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para esta questão temos que resolver o determinante apropriado para mostrar que o jacobiano da transformação de cartesiano ρ ϕ θ para x y z é ρ 2 s e n ⁡ ϕ .Podemos começar? Então, vamos à resolução!

Passo 2

Sabemos que o determinante que define o plano cartesiano ρ ϕ θ é: s e n ⁡ ϕ c o s ⁡ θ ρ c o s ⁡ ϕ c o s ⁡ θ - ρ s e n ⁡ ϕ s e n ⁡ θ s e n ⁡ ϕ s e n ⁡ θ ρ c o s ⁡ ϕ s e n ⁡ θ ρ s e n ⁡ ϕ c o s ⁡ θ c o s ⁡ ϕ - ρ s e n ⁡ ϕ 0 Separamos então o determinante em:

( c o s ⁡ ϕ ) ρ c o s ⁡ ϕ c o s ⁡ θ - ρ s e n ⁡ ϕ s e n ⁡ θ ρ c o s ⁡ ϕ s e n ⁡ θ ρ s e n ⁡ ϕ c o s ⁡ θ + ( ρ s e n ⁡ ϕ ) s e n ⁡ ϕ c o s ⁡ θ - ρ s e n ⁡ ϕ s e n ⁡ θ s e n ⁡ ϕ s e n ⁡ θ ρ s e n ⁡ ϕ c o s ⁡ θ

Resolvendo chegamos em:

  = ρ 2 c o s ⁡ ϕ s e n ⁡ ϕ c o s ⁡ ϕ c o s 2 ⁡ θ + s e n ⁡ ϕ c o s ⁡ ϕ s e n 2 ⁡ θ + ρ 2 s e n ⁡ ϕ s e n ⁡ ϕ c o s 2 ⁡ θ + s e n 2 ⁡ ϕ s e n 2 ⁡ θ   = ρ 2 s e n ⁡ ϕ c o s 2 ⁡ ϕ + ρ 2 s e n 3 ⁡ ϕ   = ρ 2 s e n ⁡ ϕ c o s 2 ⁡ ϕ + s e n 2 ⁡ ϕ   = ρ 2 s e n ⁡ ϕ

Resposta

Portanto, conseguimos provar que o jacobiano da transformação resulta em ρ 2 s e n ⁡ ϕ .

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